式の変形

質問

http://tuk.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/ee/print/eemath00.pdf
の4.3の証明に関して左辺がある式を1行目として、2行目から3行目への式変形についてなのですが、ここでは、どの様にして変形したのでしょうか？

どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

noname#70519 · ベストアンサー

|i・R・e^(i・θ)|=|i|・R・|e^(i・θ)|=R

[e^{i・β・R・e^(i・θ)}]/[{Re^(i・θ)}^2+α^2] について
分子は、e^{i・β・R・e^(i・θ)}=e^{i・β・R・(cosθ+i・sinθ)}
=e^{-β・R・(sinθ-i・cosθ)}={e^(-β・R・sinθ)}・e^(i・β・R・cosθ)

|e^(i・β・R・cosθ)|=1 であるから、分子の絶対値は、|e^(-β・R・sinθ)|

分母は、{Re^(i・θ)}^2+α^2=R^2・e^(i・2θ)+α^2
e^(i・2θ) は、絶対値が |e^(i・2θ)|=1 であり、0≦θ≦π のとき
-1≦e^(i・2θ)≦1 であるので、α^2-R^2≦{Re^(i・θ)}^2+α^2≦α^2+R^2

∴　｜1/[{Re^(i・θ)}^2+α^2]｜≦｜1/(α^2-R^2)｜=｜1/(R^2-α^2)｜
これらから

|｛（[e^{i・β・R・e^(i・θ)}]/[{Re^(i・θ)}^2+α^2]）・|i・R・e^(i・θ)|｝|
≦R・|e^(-β・R・sinθ)|/|1/(R^2-α^2)|

お礼

解答ありがとうございました

回答No.1

endlessriver

||a|-|b||<=|a+b|を使えばよいのでは

お礼

解答ありがとうございました。