分配関数

質問

分配関数の言葉の概念がよくわかりません
また、自由度、ボルツマン分布とはどう結びついているのですか 抽象的な質問ですみません
宜しくお願いします

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

統計力学の話ということで，回答します．

分配関数は英語では partition function，
状態和(sum over states)と呼ぶこともあります．

通常のカノニカル統計集合では，状態 n (ハミルトニアンの固有状態)のエネルギーを E(n)，
β=1/kT として(k はボルツマン定数)
(1)　　Z(β) = Σ exp[-βE(n)]
が分配関数の定義です．和はすべての n についてとります．
温度 T の下での状態 n の実現確率が exp[-βE(n)] に比例するというわけですが，
これをボルツマン因子と呼んでいます．
n が全部で何個あるかが系の自由度に対応しています．

なお，(1)はハミルトニアン H を使って
(2)　　Z(β) = Tr exp[-βH]
と行列の跡の形に書くこともできます．
(2)の右辺は基底の取り方には依存しません．

ヘルムホルツ自由エネルギー F は
(3)　　F = -(1/β) log Z(β)
で表されますから，熱力学的量はすべて Z(β)から芋づる式に求められます．

nta さん：
> ボルツマン分布は正規分布とも呼ばれ
正規分布の別名はガウス分布ではないかと．

お礼

初心者にもわかりやすくご説明ありがとうございました
ボルツマン因子、自由度の概念について、どういうものかよくわかりました ヘルムホルツ自由エネルギーとの関係も
理解できました
ありがとうございました

回答No.4

nta

＃１，２です。またまた、無意味な書き込みになってしまいますが、
siegmudeさんThanksです。
「正規分布」と参考URLを削除する必要があります。
まだまだ（間違いが）ありそうですが、失礼しました。

回答No.2

nta

#1です。すみませんが語句の訂正です。
このグラフもしくはこのグラフを　＝＞　このグラフを
役不足　＝＞　力不足

回答No.1

nta

distribution function （分布関数とも訳す）は連続した事象の生起確率を表すために使われる関数です。といってもわかりにくいですが、日本の人口の年齢構成を表現するときにヒストグラムという棒グラフを使って１０代が何割、２０台が何割という風に割り当ててツリガネ状のグラフを作りますが、この年齢区分をさらに１歳とか１ヶ月とか細かくして連続したグラフを描くとします。このグラフもしくはこのグラフを式で表現できたとするとそれが分配関数です。
　ボルツマン分布は正規分布とも呼ばれ物理学現象を表現する場合によく用いられる分布関数のひとつです。残念ながら、年齢分布の例にあげたツリガネ形状を表現するには役不足ですが、完全にランダムに発生する現象を表現するには非常に便利な数学モデルになっています。
　さて、ボルツマン分布は富士山のような流麗な形をしていますが、この流麗さをめでて日本各地に「…富士」という名前をつけた山があるのはいいのですが、富士山とは違った流麗さだってあっていいはずです。すその尾のひきかたとか山の尾根の下がり方とかいろいろ特徴のある関数が作られてもいいでしょう。そこでｔ関数とかワイブル関数とかさまざまな分配関数が提案されてきました。こうした関数ではその式の中にあるパラメータを変化させることによって、この形状を微妙に変化させることができいろいろな条件に合わせることができます。これを自由度と呼んでいます。次のリンクはｔ関数の例です。
http://econom01.cc.sophia.ac.jp/stat/t_comp.htm
　これらの関数を実際の現象にどのように適用するかは分野によって発想が異なるところです。統計学では確率論から論理的に組み立てられた理論展開によってこの自由度を標本数に結び付けています。また、工学の分野では自由度は実験の誤差を最小にするための妥協に過ぎない場合もあります。

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/seiki/seiki.htm

お礼

ありがとうございました
ボルツマン分布における並び方によって、名前までつけて区別されているとは、初めて知りました