分配関数 ボルツマン分布について

質問

分配関数の定義が教科書を読んでみたのですが
よく理解できません
分配関数やボルツマン分布について初心者にもわかりやすいサイトなどあれば紹介してもらえませんでしょうか
または、公式の使い方導き方などについて説明してもらえませんでしょうか
宜しくお願いします

回答No.1

DC1394 · ベストアンサー

こんにちは。

私もあまり自信がないので、要点だけ・・・。
一次元の（熱）振動はシュレーディンガー方程式で、
-h^2/(8π^2*m)d^2ψ(x)/dx^2+1/2*m*ω^2*x^2*ψ(x) = Eψ(x)
と書けます。

このとき、エネルギーEは量子化されていて、E = (n+1/2)*h/2π*ω
となることは知られています。

ここで、全部でN（個）の粒子が存在しているとします。
http://kuchem.kyoto-u.ac.jp/bukka/member/yyosuke/pcuebung/pcexam4.htm
の(4.3)式によると、
f(Vx) = Cexp{A(Vx^2)}となります（速度を表していることがわかりやすいようにx = Vxと置き換えました）。
直感的に、粒子の速度分布がガウス分布をしていることは理解しやすいと思います（当然、A<0です）。

ここで、粒子の運動エネ泣Mーが、エネルギー等分配の法則から1/2*m*(Vx^2) = 1/2kTとなることを用いると、
N（個）の粒子についてf(E) ∝ exp(-E/kT)となります（(4.3)式をまともに計算したらたぶんこうなると思います）。

ここまで来たらもうすぐです。
零点エネルギーを基準（ゼロ）として、N（個）の粒子のエネルギーの分布を見るとf(E) ∝ exp(-E/kT)となっていますから、エネルギー準位nE(n=0,1,2・・・)の粒子数Pは、
P ∝ N*exp(-nE/kT)/Z
となります。
ここで、
Z = 1+exp(-E/kT)+exp(-2E/kT)+・・・
= 1/{1-exp(-E/kT)}
が分配関数と呼ばれています。

参考URL：
http://www.aoni.waseda.jp/funatsu/Classes/Introduction/2boltzman.pdf
http://www.phys.keio.ac.jp/staff/saito/fdbe.pdf
http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/index.htm

お礼

色々とご丁寧に説明どうもありがとうございました
関連性を理解することが出来ました
サイト紹介も多数していただきありがとうございました