波数k[n]とk[n+1]の差は2π/Tの計算式

質問

波数k[n]とk[n+1]の差は2π/Tを求める計算式を教えて下さい。

「キーポイント フーリエ解析」という本の102ページ目に「…、k[n]の定義より、k[n]とk[n+1]の差は2π/Tだから、…」と書いてありますが、どうやって求めたのか分かりません。
k[n]の定義は、
k[n] = 2π/T[n] (= n/M)
のことだと思います。
差なので、
k[n+1] - k[n] = 2π/T[n+1] - 2π/T[n]
だと思いますが、それ以上展開できません。
ご存知の方、どうか教えて下さい。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

#1のお礼で書いてある式を使えば
k[n+1] - k[n] = 2π/T[n+1] - 2π/T[n]=(n+1)/M-n/M=1/M=2π/T
となる。。

お礼

ありがとうございます。
それを採用します。実は自分でも一度そう計算したのですが、TとT[n]の関係が分からず、自信がありませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

f272

T[n]とTの関係はどうなっているのですか？

お礼

興味を持っていただいて、ありがとうございます。
長文になりますが、どうかお読み下さい。<(_ _)>

まず、TとT[n]の関係を示していると思われる部分を引用します：

fM(t)のフーリエ級数展開の式を求めよう。fM(t)は偶関数だから、次のフーリエ余弦展開の形に書ける。
fM(t) = (1/2)a[0] + Σ[n=1,∞] a[n] cos (nt/M)
この式は、(式1.27)で周期「T=2Mπ」にしたものである。ただし、Mは正の整数である。さらにフーリエ係数a[n]は、(式1.18a)で「T=2Mπ」としたものより、
a[n] = (1/Mπ)Σ[-Mπ,Mπ] fM(t) cos (nt/M) dt
(n=0,1,2,…)
となる。

～～～～～

正のnに対するa[n]は、fM(t)をいろいろな周期を持つ三角関数の重ね合わせで書いたときの周期「T[n]=2Mπ/n」の変動成分の大きさを表している。以下では、この周期T[n]の代わりに
k[n] = 2π/T[n] = n/M (式5.6)
で定義されるk[n]を用いて各変動成分を区別することにする。周期T[n]の変動成分は、tの区間幅T[n]の中に波を1つ（すなわち、山を1つと谷を1つ）含むので、k[n]はこの変動成分の区間幅2πあたりの波の数を表し、「波数」と呼ばれる。k[n]は決まった長さあたりの波の数だから、一般に整数である必要はない。またn=0はtに依存しない定数成分に対応しているが、定数成分は周期無限大の変動成分とみなすことができるので、(式5.6)をn=0に対しても使って、波数k[n]=0が定数成分に対応していると考えてよい。T[n]を使うよりもk[n]を使うほうが便利であることが後でわかる。

…以上、引用終わり。
上記を比較すると、
T=2Mπ
T[n]=2Mπ/n
なので、
T=2Mπ
というのはn=1の場合で
T[1]=2Mπ/1
T[1]=2Mπ=T
と考えてもいいのかもしれないですね…(自信なし)。

ここからは自分の考えです。
nが付かない方の
k = 2π/T
は「波数kは、2π（=360°）に周期Tが何個入るか、つまり2πをTで割ったものである」と言い換えられます。
このとき、T=πだとすると、
k = 2π/π
k = 2
になります（よね？）。

この本では
k[n+1] - k[n]
= 2π/T[n+1] - 2π/T[n]
= 2π/T ←
になる、と言っているんですよね？ つまり、
2π/T[2] - 2π/T[1] = 2π/T
2π/T[3] - 2π/T[2] = 2π/T
2π/T[4] - 2π/T[3] = 2π/T
:
と言っているんですよね？
これがイメージできません…。

このような感じで分かりますでしょうか？
更に補足が必要であれば、補足します。
よろしくお願いいたします。