rot(grad(f))(x,y)=0の証明

質問

(x,y)をＣ2級の関数とする。
rot(grad(f))(x,y)=0を示せ。

　rot=0なのでgrad(f)を図示すると円を描く矢線にならないことはわかります。
　式の証明もわからないのですが，この式の幾何学的な意味もよくわかりません。
　よろしくご回答ください。

回答No.2

kochory · ベストアンサー

＞幾何学的な意味についてですが，でこぼこと言いますと，階段状の図が描けるということですか？

f(x,y)という関数を、座標(x,y)の地点の標高を表すものと考えてください。
fが滑らかな関数なら、それはなだらかな凹凸のある地形を表すでしょうし、
不連続な関数なら、階段状の地形を表すことになるでしょう。
ただ今はf(x,y)はC2級の関数だとしているので、不連続な場合は排除されます。

このとき、grad(f)(x,y)というベクトル場は、座標(x,y)の地点において、
一番勾配がきつい方向を表します（勾配を上る向きで）。
ですからこのベクトル場に沿って歩いていけば、
どんどん標高の高いほうへ向かっていくことになります。
歩けば歩くほど標高が高くなるのですから、一度歩き出したら
歩き出した地点の標高より常に高い位置にいることになります。
よって、歩いているうちにぐるっと回って歩き出した位置に戻るということは
ありえません。
あなたのおっしゃった
＞rot=0なのでgrad(f)を図示すると円を描く矢線にならない
というのはこのことを意味しています。

回答No.1

kochory

gradやrotの定義を使ってこつこつ計算すれば示せます。

幾何学的な意味ですが、
grad(f)というベクトル場は局所的にfが大きくなる方向を
指しているわけですが、rot(grad(f))が0ということは、
このベクトル場に沿って移動していっても、ぐるっと回って
元の場所に戻ることはないことを意味しています。

でこぼこな地形の上を、高いほうへ高いほうへと歩いていったら
もとの地点へはどうやっても戻りませんよね？
そういうことです。

補足

迅速なご回答ありがとうございました。
計算はkochoryさんの言うとおり定義を使って解くことができました。もう少し自分なりに手を動かしてみるべきでした。ごめんなさい。
幾何学的な意味についてですが，でこぼこと言いますと，階段状の図が描けるということですか？
すみませんがもう一度ご説明ください。
よろしくお願いします。