Jordan開曲線と閉曲線の交点で始点に最近の点が

質問

Cは複素数体,D⊂Cを開領域,Γ⊂DをJordan閉集合,更にI(Γ),O(Γ)をΓの内部,外部を表すものとする。
さて,
q∈I(Γ),p∈O(Γ)∩Dを結ぶJordan開曲線L(L:[0,1]→D;L(0)=pが始点,L(1)=qが終点)が存在する。この時,
min L^{-1}(Γ∩L([0,1])) ∈ [0,1]
が存在する事を示せ。つまり,L([0,1])とΓとの交点の中で一番pに近いものが在る。

はどうすれば示せますでしょうか?

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

[0,1]はコンパクト閉集合
コンパクト集合からの連続写像はコンパクト
だから
L([0,1])もコンパクト
ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合
だから
L([0,1])はコンパクト閉集合
同様に
Γもコンパクト閉集合
閉集合と閉集合の共通部分は閉集合
だから
Γ∩L([0,1])は閉集合
Lは連続だから
L^{-1}(Γ∩L([0,1]))も閉集合
コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトだから
L^{-1}(Γ∩L([0,1]))はコンパクト閉集合
[0,1]のコンパクト閉部分集合は有界閉集合だから
有界だから
L^{-1}(Γ∩L([0,1]))の上限と下限が存在する
閉だから
L^{-1}(Γ∩L([0,1]))の
上限は最大値
下限は最小値
となるから
L^{-1}(Γ∩L([0,1]))の最大値と最小値が存在する
∴
min L^{-1}(Γ∩L([0,1])) ∈ [0,1]
が存在する

お礼

ご回答誠に有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。