これで最後です。

質問

次の問題を教えてください。
実数aに対して、方程式cos2x-sinx=a (0°＝<Θ>360°）
の解が４個存在するときのaの範囲を求めよ。
また３個存在するときのaの値を求めよ。
です。　よろしくお願いします。

回答No.2

nagaimineko · ベストアンサー

すべては回答せずに、ヒントを中心に書きます。

まずは方程式を変形しましょう。
cos２xとありますから、加法定理を使って２xをｘに置き換えます。
そして、最終的にsinｘだけの式にします。
sinxの二次方程式になるので、sinx＝t　と置き換えます。
（もちろん－１＝<ｔ＝<１）

この結果、与式＝-2t^2 -t +1 =a　となるはずです。
与式＝f(t) として、f(t)のとり得る値の範囲を求めます。

f(t)のグラフは、上に凸で頂点の座標（1/4,9/8)となり、
aの値で場合分けをして、それぞれの解の個数を調べます。

答えは、解が４個のとき　　0<a<9/8
　　　　解が３個のとき　　a=0
となります。

いかがでしたか？これを元に頑張ってみてください。
数学はパターンを覚えれば大体の問題は解けるようになります。
そうなるまで、何回もいろいろな問題に挑戦し、
ぜひ数学が得意科目になるようにしてください。
また質問があれば遠慮なく訊いてくださいね。

お礼

優しいお言葉ありがとうございます。数学は苦手で少し落ち込んでいたのですが、やる気が出ました。申し訳ないのですがまだ他の問題をやっている途中なので手がつけられていません。出来次第ご報告します。

補足

お礼とご報告です。おかげさまで解く事が出来ました。
最初解が４個と３個って何？って感じだったんですけど、
そうだそうだsinxなんだから、解が三個とか４個出てくるんだと
納得していました。
相変わらず気づくまでが遅い私です。
ところで、頂点の座標って(-1/4,8/9)ですよね。
あまり差し障りのないところなんですが・・・
とにかく、わかりやすい回答と優しいお言葉本当にありがとうございました。
頑張ろうって気になりました。
また、いろいろと質問すると思うのでその時はよろしくお願いします。

回答No.3

noname#598

ごめんなさい。nagaiminekoさんの答が正しいです。

寝ボケてました・・・

お礼

ご報告とお礼です。
遅くなってすみません。やっと解けました。
眠い中解いていただきありがとうございました。

回答No.1

noname#598

cos2x＝1-2(sinx)^2 より、sinx=ｔ　とおくと、
ｙ＝－２ｔ^2－ｓｉｎｘ＋１
ｙ＝－２(ｔ＋1/4)^2+９／８

ｔ＝－１のとき　ｙ＝０
ｔ＝１のとき　ｙ＝－２

－１≦ｔ≦１　でこの放物線をかく。
また、ｔ＝±１に対応するｘの値は１つ、
－１＜ｔ＜１のとき、ｔ＝sinxとなるｘの値は２つずつ存在することに注意すると、
－２＜ａ，ａ＜９／８　のとき、方程式の解は０個
ａ＝－２のとき１個
－２＜ａ＜－１，ａ＝９／８　のとき２個
ａ＝－１　のとき３個　（ｔ＝－１側で１個、他で２個）
－１＜ａ＜９／８　のとき、４個

以上です。放物線上をｔ＝０から始まって、最初はｔ＝１の方向に、
折り返してｔ＝－１まで戻り、再びｔ＝０に戻ってくる点移動を考えれば、
きっとわかります。

この方法が納得いかなかったら、数(3)の微分法に走るんですが・・・

お礼

眠たいところをすみませんでした。まだ、他の問題をやっていて手がつけられていないのですが、出来次第ご報告します。