(n^2+(n-1)^2)で表わされる素数に関して

質問

単純な計算なのでやっているのですが、ｎを偶数としてｎ-１とくみあわせて、（n^2+(n-1)-2のかわりに　）n^2-(n-1)^2を計算すると２に近い小さな素数のかなりが出てきます。すべてではないのですが、気になります。何か意味のあることがあるのでしょうか。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.2&3です。少し補足します。
ご質問は、「フェルマーの二平方の定理」といわれる定理の一部の特別な場合です。

この定理はわかりやすく言えば「すべての4で割ると1余る素数は、2個の平方数の和として表すことができる」というものです。100までには4で割ると1余る素数は以下の11個あり次のように表せます。

5=2^1+1^2,13=3^2+2^2,17=4^2+1^2,29=5^2+2^2,37=6^2+1^2,41=5^2+4^2,53=7^2+2^2,61=6^2+5^2,73=8^2+3^2,89=8^2+5^2,97=9^2+4^2

このうちn^2+(n-1)^2型の素数は、5,13,41,61の4個です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C

お礼

素数が分類されるのですね。計算するだけでも頭が少し活性化されるように思うのでしばらく続けてみたいと思います。

回答No.4

Water_5

｛n^2+(n-1)^2}=2n^2-2n+1=2n(n-1)+1
で表される素数があるのですか？

以前のスレッとで４ｎ＋１で表される素数がある。
しかも無限にある」と言う事でした。

最後の式は4n+１を表しているような気がするのですが。

なので、｛n^2+(n-1)^2}型の素数は４ｎ＋１型素数の一部分と言う事になります。

お礼

すべての素数を一つの式で表現することは出来ないのですね。

回答No.3

staratras

>これが成り立つのは比較的小さな素数に限るのでしょうか。

そうとは限らないでしょう。素数かどうかを判定してくれる複数のサイトで調べてみましたが、
例えばn=22360665のときの
22360665^2+22360664^2=999998633763121 (15桁)は素数のようです。

この形式で表現できる素数に上限があると仮定すると、その最大の素数2p^2-2p+1の次（4p大きい）2(p+1)^2-2(p+1)+1が素数でないことから始まって、これより4(p+1)大きい整数、4(p+2)大きい整数…と、次々に規則的なある間隔で素数が存在しない「素数のエアポケット」が無限に続くことになってしまいます。４で割ると1余る素数が無限に存在することを考えるとそのようなことは起こりそうもありません。(厳密な証明になっていなくてごめんなさい）

お礼

中学数学程度の頭でも計算できることなので面白いと思っています。しかし無限の問題になってしまうと、もうお手上げです。複素数も使って（帳尻を合わせて？）うまく手に届くところに出てくる（せいぜい１０００以下）素数を表現できないかと夢見ています。

回答No.2

staratras

n^2+(n-1)^2=2n^2-2n+1=2n(n-1)+1です。
ここでn,n-1は連続した2整数なので、nが偶数だろうと奇数だろうと片方は偶数だから、上式は必ず4の倍数に1を加えた整数、つまり4で割った余りが1の奇数になります。この型の素数も4で割った余りが3の素数同様に無限にあります。

お礼

よくわかりました。連続した２整数のおのおの二乗の和が素数になる場合があるということが理解できました。これが成り立つのは比較的小さな素数に限るのでしょうか。

回答No.1

f272

n^2-(n-1)^2=2*n-1
nが偶数なら，2*n-1は4で割ると3余る数です。このタイプの素数は無限にあります。

お礼

ところどころ当てはまらない素数が出てきますが、統一的な理解には結びつかないのでしょうか。無数にあるのは何となくわかるように思っています（ほんとうは理解していないのでしょうが）

補足

本文中の括弧内は　n^2+(n-1)^2のミス入力でした。