変異の数の計算

質問

DNAポリメラーゼのエラーにより、変異がそれぞれの娘細胞において細胞分裂ごとに10^-9(10^9塩基対に1対)の頻度で生じると仮定する。ヒト正常細胞が50回分裂した後、計算上、1細胞当たり何個の変異が蓄積するか、計算式も含めて記せ。ただし、ヒト細胞のゲノムサイズは30億塩基対とする。
とありました。

これは、

3×10^9をヒト細胞は2コピー持っているから
3×10^9×2コピー / 10^9　= 6個
の変異を娘細胞当たりがもつことになり、2回目では12個、3回目では18個…
となって300個
と計算しましたがまったく自信がありません。

解答解説がなく理解できてないままになっています。ご指導お願い申し上げます。

回答No.1

noname#223065 · ベストアンサー

その計算方法ですと直線的に増加しますから、いずれは全ての塩基対に異常が生じ、さらに持てる塩基対以上の数になってしまいます。（60億/6＝10億回目以降）

　どうもこれは数学の問題のようです。こういう場合、「まず正常な塩基対はいくつになるか？」で考えるのではないかと思います。

> 3×10^9をヒト細胞は2コピー持っているから3×10^9×2コピー / 10^9　= 6個の変異を娘細胞当たりがもつことになり、

　ここまでは正しいものとしてみます（正直なところ、2コピーをカウントするのかといったことが、私ではよく分かりません。すみません）。

　すると、1回目では異常な塩基対の割合が6/60億で、正常なものの割合が(60億-6)/60億。2回目の細胞分裂後に正常なものは{(60億-6)/60億}^2です。50回目では、{(60億-6)/60億}^50になります。

　すると、異常なものの割合は、

1-{(60億-6)/60億}^50

になり、異常なものの総数は、

　[1-{(60億-6)/60億}^50]×60億
＝{1-(1-1/10億)^50}×60億

となるはずです。(1+x)^n≒1+nx（x^2≪1）という近似式を使うと、

　{1-(1-1/10億)^50}×60億
≒{1-(1-50/10億)}×60億
＝(1-1+50/10億)×60億
＝(50/10億)×60億
＝50×60億/10億
＝50×6
＝300[個]

となります。50回くらいだとリニアに増加する計算と一致しますので、50回程度では単純に1回ごとに6個増えると考えてよさそうです。

（|x^3|≪1やx^4≪1の近似式では一応異なる式にはなるものの、6/60億＝1/10億から1/100億、1/1000億のオーダーの項が出てくるだけなので大丈夫かと……しかし計算はしてみませんでした。すみません。）

お礼

この度は解答を各プロセスごとにご指導下さり誠にありがとうございます。また私も考え方で困惑したのですがゲノムはヒトの場合2コピーということで総数も60億という考え方で計算過程を立てましたがそれは普通じゃない考え方なのかどうかも少しもやっとしています。
にもかかわらずそうであると仮定して以降大変丁寧にご指導いただき、本当にわかりやすく学ぶことができました。
今後ともご指導の程お願い申し上げます。