中2レベルの数学 確率

質問

中2レベルの数学のドリルをやっています。
問題文
2つのサイコロＡ，Ｂを同時に投げる時、次の確率を求めなさい。
出る目の数の和が4の倍数になる確率
です。

4の倍数は、4、　8、　12・・・・なので、組合わせは
2+2＝4
2+2＝4
3+1＝4
1+3＝4
4+4＝8
4+4＝8
6+2＝8
2+6＝8
5+3＝8
3+5＝8
6+6＝12
6+6＝12
の12通りです。なので36分の12で答えは3分の1になると思うのですが、正解は4分の1でした。どこが間違っていたのでしょうか？
ちなみにドリルに、訂正の紙は入ってませんでした

回答No.2

princelilac · ベストアンサー

2+2, 4+4, 6+6 のゾロ目を1通りずつ省きます。全部で9通りです。

考え方としては、A, B のうち、一方を固定して考えます。例えば A を固定すると、
A = 1 の時、B=3
A = 2 の時、B=2, B = 6
A = 3 の時、B=1, B =5 のように数えます。
こうすれば、A, B の入れ替えも数えることができます。

お礼

そうですね。よく考えたら2コのサイコロを同時に投げるんだからＡが2Ｂが2で、1回投げたことにカウントされるんだから、Ｂが2Ａが2は同じ意味になりますね。色んな確率の問題解いてると、重複になる場合とならない場合があって、ゴッチャのなりました

回答No.4

noname#223065

> 2+2＝4
> 2+2＝4

　これは、サイコロA, Bを振って、「Aが2でBが2」と「Bが2でAが2」を考えたものですね。組み合わせを数えるときは、他も同じ考え方で数える必要があります。

> 3+1＝4
> 1+3＝4

　Aが3でBが1、Aが1でBが3、と数えていて、一見よさそうです。でも「2+2＝4」のときはBを最初にした場合も数えたのでした。ということは、これもBを最初にした場合も数えておく必要があります。ですから、

3+1＝4
1+3＝4

の2通りも数えておく必要があります。

> 4+4＝8
> 4+4＝8

　これは「2+2＝4」と同じやり方で正しいですね。

> 6+2＝8
> 2+6＝8

　これも1と3のときと同じで、これだけでは足りません。書き出しておきましょう。

6+2＝8
2+6＝8

> 5+3＝8
> 3+5＝8

　これも1と3のときと同じで、これだけでは足りません。書き出しておきましょう。

5+3＝8
3+5＝8

> 6+6＝12
> 6+6＝12

　これは「2+2＝4」と同じやり方で正しいですね。

　こういうことになります。数えてみると、18通りとなります。では、18/36＝1/2になってしまうのか。1/4ではないですね。やはり模範解答が間違いなのか。

　そうではないのです。実は、6×6＝36通りも、「Aが2でBが2」と「Bが2でAが2」という数え方ですべての場合を数えてはいないのです。Aが先の場合とBが先の場合で同じ組み合わせが2回出てくるのですから、36通りの2倍の72通りになるのです。ですから確率は、

　18/72＝1/4

となります。正解と違ってしまったのは、4の倍数の組み合わせも、すべての組み合わせも、サイコロAとBを組み合わせた数え方が足りていなかったからなのです。

P.S.

　問題を少し変えて、サイコロを2回振ると考えてみます。(1回目、2回目)で組み合わせを書き出すと、以下のようになります。4の倍数は[ , ]に変えておきます。

(1, 1)　(1, 2)　[1, 3]　(1, 4)　(1, 5)　(1, 6)
(2, 1)　[2, 2]　(2, 3)　(2, 4)　(2, 5)　[2, 6]
[3, 1]　(3, 2)　(3, 3)　(3, 4)　[3, 5]　(3, 6)
(4, 1)　(4, 2)　(4, 3)　[4, 4]　(4, 5)　(4, 6)
(5, 1)　(5, 2)　[5, 3]　(5, 4)　(5, 5)　(5, 6)
(6, 1)　[6, 2]　(6, 3)　(6, 4)　(6, 5)　[6, 6]

　これだとすべての組み合わせは36通り、4の倍数は9通りありますから、確率は、

9/36＝1/4

になります。同じ確率になりますね。この方法は、サイコロ2個を振って出た目を見るのに、サイコロA→サイコロBとだけ見るやり方に相当します。組み合わせの数が、B→Aも数えた場合の、ちょうど半分になっていますね。

　どちらで解いてもいいですが、質問者様の解き方は本当に全部の組み合わせを考えたものですので、まずそれで確認してみるのはいいことでしょう。その解き方で納得がいったら、半分で済ます方法も同じように確率が計算できるという考え方も確かめておくのがいいかと思います。

お礼

そうですね。本当に総ての場合の組み合わせは72通りなんですね。表を見ると2+2みたいなゾロ目は1コでカウントされてますね。教科書を読んでる時も、同じような問題があったんですが、その時は、そういうもんなんだ。と、気になりませんでした。ゾロ目を1コとカウントすると4の倍数になる組合わせは9通りなんですね。アリガトウございました

回答No.3

noname#252159

表にして整理すると分かりやすくなります。
重復して、数えている部分
2+2=4
4+4 = 8
6+6 =12
の組み合わせが重復していることになります。

お礼

総ての場合の数の36通りという数字は、おっしゃる通り6×6＝36で出しました。そうですね。ゾロ目は1コでカウントされてるんですね！勉強になりました。アリガトウございました

回答No.1

kuzuhan

まず、36通りというのはどういう算出をしましたか？

同時に投げた時の数字の組み合わせは、
Ａが1のとき、Ｂは1～6の6通り→6通り
Ａが2のとき、Ｂは1～6の6通り→6通り・・・
すなわち、
Ａが1～6のそれぞれの数が出るとき、Ｂは6通りずつ数字が出る可能性があるので、6通り×6で36通りとなります。
九九の表のように、組み合わせ表を作ると、
1-1、2-2、3-3、4-4、5-5、6-6については、表中に1個しかありません。
つまり、同じ数が出る組み合わせは「2通り」とはしていないのです。

よって、
2+2＝4
3+1＝4
1+3＝4
4+4＝8
6+2＝8
2+6＝8
5+3＝8
3+5＝8
6+6＝12
の9通りとなるので、9/36＝1/4（4分の1）の解が求められます。

お礼

スイマセン、貴方へのお礼を、間違って他の人に書き込みました。アリガトウございました