積分

質問

x^2+y^2≦z≦x+2
で表せる領域の体積を求めなさいという問題がわかりません。教えてください。

回答No.1

tadopikaQ · ベストアンサー

要所のみ記載します。

x^2+y^2≦z≦x+2 が平面 x=k によって切断される図形は、
k^2+y^2=z ...[1] 及び
z=k+2 ...[2]
で囲まれた部分である。

[1],[2]から、y=±√(-k^2+k+2) (-1≦k≦2)
この面積をS(k)とすると、
S(k) = 2∫[y=0~√(-k^2+k+2)](k+2-k^2-y^2)dy
= 4/3*(-k^2+k+2)^(3/2)

求める領域の体積は、
V = ∫[k=-1~2]S(k)dk
= 4/3*∫[k=-1~2](-(k-1/2)^2+9/4)^(3/2)dk

ここで、k-1/2 = 3/2*cosθ とおくと、
k: -1~2 に対して
θ: π~0
dk=-3/2*sinθdθ

V = -27/4*∫[θ=π~0](sinθ)^4dθ
これを計算すると、
V = 81/32*π

回答No.2

info222_

V=∫∫{(x,y)|x^2+y^2<=x+2} x+2-(x^2+y^2) dxdy
=∫∫{(θ,r)| r^2<=r cosθ+2} (r cosθ+2-r^2) r dθdr
=2∫[0,π] dθ ∫[0,(cosθ+√((cosθ)^2+8))/2] (r^2 cosθ+2r-r^3) dr
=2∫[0,π] (1/24) {(cosθ)^4+cosθ*((cosθ)^2+8)^(3/2)+12*(cosθ)^2+24 } dθ
=(81/32)π ... (Ans.)