中線定理の応用についての問題です

質問

中線定理の応用についての問題です

平行四辺形OABCはOA=BC=1,OC=AB=r,∠AOC=θ
を満たす。ただし、r＞0かつ0°＜θ＜180°とする。
2）θが0°＜θ＜180°の範囲を動くとき
OB+ACの最大値とそのときのθの値を求めよ。
この解答が、
(OB+AC)^2+(OB-AC)^2=2(OB^2+AC^2)
よってOB+ACはOB=ACのとき、すなわち四角形OABCが長方形のとき最大となる
と書いてあるのですが、まず、どうしてこのように立式したのかと、式の意味がわかりません。そして、なぜOB=ACの時が最大なのかを詳しく教えてください！

回答No.1

jcpmutura

平行四辺形OABCは
|OA|=|BC|=1,
|OC|=|AB|=r,
∠AOC=θ
を満たす。
ただし、r>0かつ0°<θ<180°とする。
θが0°<θ<180°の範囲を動くとき
|OB|^2=(1+rcosθ)^2+(rsinθ)^2=1+2rcosθ+r^2
|AC|^2=(1-rcosθ)^2+(rsinθ)^2=1-2rcosθ+r^2
だから
|OB|^2+|AC|^2=2(1+r^2)
はθに関係しないから
(|OB|+|AC|)^2+(|OB|-|AC|)^2=2(|OB|^2+|AC|^2)=4(1+r^2)
はθに関係しない
両辺から(|OB|+|AC|)^2を引くと
0≦(|OB|-|AC|)^2=4(1+r^2)-(|OB|+|AC|)^2
両辺に(|OB|+|AC|)^2を加えると
(|OB|+|AC|)^2≦4(1+r^2)
両辺を1/2乗すると
|OB|+|AC|≦2√(1+r^2)
だから
|OB|+|AC|の最大値は
|OB|+|AC|=2√(1+r^2)
となる
そのとき
(|OB|+|AC|)^2=4(1+r^2)=2(|OB|^2+|AC|^2)
だから
(|OB|-|AC|)^2=2(|OB|^2+|AC|^2)-(|OB|+|AC|)^2=0
だから
|OB|=|AC|の時最大となる
|OB|^2=1+2rcosθ+r^2=|AC|^2=1-2rcosθ+r^2
cosθ=0
θ=π/2
四角形OABCが長方形のとき最大となる