ベクトルの問題!困っています

質問

ベクトルの問題で質問です
四面体OABCは次の２つの条件
（）OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB
（）４つの面の面積が同じ
を満たしています
このときこの四面体は正四面体であることを示せ

という問題です。
三角形の面積公式（ベクトル）？＿をつかうそうなんですが・・・・

解説をお願いします!

回答No.2

naniwacchi

#1です。

すいません、訂正です。

＞|a|, |b|, |c|は、辺の長さを表していて正であるから、|b|= |c|
最後の部分は、|a|= |c|です。

失礼しました。

回答No.1

naniwacchi

正四面体ということは、「各辺の長さが等しい」ということが示されればいいですね。
まずは、それぞれの条件を式に直していきましょう。

点Oを位置ベクトルの原点とし、残り3点の位置ベクトルを a, b, c（→は省略します）と表すことにします。

(1) OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB
内積が 0ということですから、
a・(c- b)= b・(c- a)= c・(b- a)= 0

これより、a・b= b・c= c・aが導かれます。

(2) ４つの面の面積が同じ
三角形OABの面積は、
1/2* |a||b|sinθ= 1/2* √( |a|^2* |b|^2- (a・b)^2 )
同じようにして、三角形OBCの面積は 1/2* √( |b|^2* |c|^2- (b・c)^2 )
これら 2つの面積が等しいということは、それぞれの√の中が等しいということになります。
(1)より、内積は等しいことがわかっているので、
|a|^2* |b|^2= |b|^2* |c|^2
|a|, |b|, |c|は、辺の長さを表していて正であるから、|b|= |c|

あとは、同様にして各辺の長さが等しいことを示せばよいです。

ちなみに、(1)の OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥ABは「交わっている」わけではなく、
「ねじれの位置」の関係になっています。
これがわかると、もう少しイメージしやしくなるかもしれません。