積分について

質問

1/x√x^2+1の積分を教えてください
t=x+√x^2+1と置く形でお願いいたします
導出の式もあると大変ありがたいです

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

まず、被積分関数の表記の仕方ですが、書かれたまま解釈すると、
(1/x)*(√x^2)+1=(1/x)*|x| + 1
ということになります。質問者の意図する式はおそらく、
f(x)=1/{x√(x^2+1)}
であろうと思います。かっこの必要な部分は省略せず、数式は正しく記述してください。
t=x+√(x^2+1) とおくと、dt={1+x/√(x^2+1)}dx=t*dx/√(x^2+1). すなわち、
dx/√(x^2+1)=dt/t.
また、t-x=√(x^2+1) を平方して、1/x=2t/(t^2-1).
これらより、
∫f(x)dx=∫2dt/(t^2-1)=∫{1/(t-1) - 1/(t+1)}dt=ln|(t-1)/(t+1)|.
最後に、tをもどしてください。

お礼

回答ありがとうございました
参考にさせていただきます

回答No.2

info222_

t=x+√(x^2+1)とおくと
(t-x)^2=x^2+1
t^2-2tx-1=0
x=(t^2-1)/(2t)=(t-1/t)/2
dx/(x√(x^2+1))=(1+1/t^2)dt/{(t-1/t)√((t-1/t)^2/4+1)}
=(1+1/t^2)dt/{(t-1/t)√((t-1/t)^2+4)/2}
=2(1+1/t^2)dt/{(t-1/t)(t+1/t)}
=2dt/(t^2-1)
=(1/(t-1)-1/(t+1))dt
両辺不定積分して
∫ dx/(x√(x^2+1))=∫ dt/(t-1)-∫ dt/(t+1)
=ln(|t-1|)-ln(|t+1|)+C
=ln|(t-1)/(t+1)|+C
もとのxに戻して
=ln|(x+√(x^2+1)-1)/(x+√(x^2+1)+1)|+C
=ln|(√(x^2+1)+(x-1))((x+1)-√(x^2+1))/((x+1)^2-(x^2+1))|+C
=ln|((x^2-1)-(x^2+1)+2√(x^2+1))/(2x)|+C
=ln|(√(x^2+1)-1)/x|+C ... (答)

お礼

回答ありがとうございました
参考にさけていただきます