xy^2-x-3y^2-12=0を満たす正の整数

質問

「xy^2-x-3y^2-12=0を満たす正の整数x,yの組(x,y)をすべて求めよ」
という問題ですが、答えが(8,2),(4,4)となるそうです。
解説を読んでもわからなかったので中学生でもわかりやすく教えてください。

回答No.2

noname#222520 · ベストアンサー

途中は省略して、与式を変形すると次のようになります。
(x-3)(y-1)(y+1)=15=1*3*5
これから、y-1とy+1の組み合わせは、1と3（y=2）、3と5（y=4）しかありません。

・y=2のとき
x-3=5→x=8

・y=4のとき
x-3=1→x=4

よって、答えは(8,2)と(4,4)

お礼

有難うございます
この回答で一番理解ができたので、ベストアンサーにさせて頂きました。

回答No.3

staratras

xy^2-x-3y^2-12=0

まずは式の変型
x(y^2-1)-3(y^2+4)=0
x(y^2-1)-3(y^2-1+5)=0
(x-3)(y^2-1)=15
(x-3)(y-1)(y+1)=1×3×5

ここでy+1=(y-1)+2 で、xとyが正の整数であることに着目すると

x-3=1 かつ　y-1=3 かつ　y+1=5 …（１）または
y-1=1 かつ　y+1=3　かつ　x-3=5 …（２）

(1)から　x=4、y=4　　(2)から　x=8、y=2

お礼

分かりやすい説明を有難うございました。

回答No.1

trytobe

xy^2-x-3y^2-12=0
x(y^2)-x(1)-3(y^2)-12=0
x(y^2)-x(1)-3(y^2)+3(1)-15=0
x(y^2-1)-3(y^2-1)-15=0
(x-3)(y^2-1)-15=0
(x-3)(y^2-1)=15

x も y も正の整数だから、(x-3) も整数。(y^2-1) も整数。

さらに、(y^2-1) は y=1 でも ０ までにしかならない（負にならない）

だから、(x-3) と (y^2-1) を掛け算して正の値である「15」になるためには、
・(x-3) が １、(y^2-1) が１５ のパターン
・(x-3) が ３、(y^2-1) が５ のパターン
・(x-3) が ５、(y^2-1) が３ のパターン
・(x-3) が １５、(y^2-1) が１ のパターン

しかない。一番上が x=4, y=4。次が x=6 だけど y=√６ で整数にならない。次が x=8, y=2。最後が x=18, y=√２ で整数にならない。

お礼

他の回答者さんの回答を見て、いろいろ方法があるんだと思いました。
有難うございました。