x^3-y^3=98をみたす整数x,y

質問

「x^3-y^3=98をみたす整数x,yの組をすべて求めよ」という問題の解き方を教えて下さい。正解は（5,3)(-3,-5)のようです。

回答No.3

noname#231195 · ベストアンサー

整数の組でしかないんだから、いくつか整数を放り込んでいけばいいんですよ。
整数の３乗と整数の３乗の差なんて、XとYが大きくなっていくと恐ろしい勢いで発散していくんだから、整数を一つ一つ試していったってたかが知れています。

Xの候補として
0、1、2、3、4、5、6、7・・・・
を考えてみます。負の整数は後で考えましょう。するとX³は
0、8、27、64、125、216、343・・・・
ここからすぐにわかるのはXもYも6以下ってことです。
というのは、XとYが等しくないのは自明でしょ?すると仮にXが7だとするとYは6以下でしかありえないです。
でも7³-6³は343-216、つまり127となって明らかに問題の式を満たしません。
このある整数の3乗とそのひとつ前の整数の3乗の差は大きくなるだけなのですから、Xが7以上という事はあり得ないという事になります。

X³の候補を改めて並べなおすと
0、8、27、64、125、216
だけです。Yは0から5までが候補になるわけですからY³は
0、8、27、64、125
差が98になる組み合わせは？(125，27)だけでしょ？
だから(X，Y)=(5、3)は問題の式の解の一つになります。

負の整数の方でも同様にして考えれば、すぐに答えが出ます。
っていうか、正負が逆になるだけで全く同じ計算ですね。
(X，Y)=(-3、-5)

文章にすると長いけど、X³の取りえる値として0、8、27、64、125、216と並べたらすぐに答えが見えるでしょ?
でもきっと数式をこねくり回す方が好みに合っているんでしょうねwww

お礼

大変分かりやすい解説をどうもありがとうございました。助かりました。

回答No.2

asuncion

もうちょい厳密にいうと、
＞これを満たすyは存在しない。
これを満たす整数yは存在しない、ということでお願いします。

回答No.1

asuncion

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 98 = 2・7^2
ここで、x - y, x^2 + xy + y^2はともに整数であり、かつ、
x^2 + xy + y^2 = (x + y/2)^2 + 3y^2/4 ≧ 0であるから、
(x - y, x^2 + xy + y^2) = (1, 98), (2, 49), (7, 14), (14, 7), (49, 2), (98, 1)
i) x - y = 1, x^2 + xy + y^2 = 98のとき
xを消去して、(y + 1)^2 + y(y + 1) + y^2 = 3y^2 + 3y + 1 = 98
これを満たすyは存在しない。
ii) x - y = 2, x^2 + xy + y^2 = 49のとき
xを消去して、(y + 2)^2 + y(y + 2) + y^2 = 3y^2 + 6y + 4 = 49, y^2 + 2y = 15
y^2 + 2y - 15 = 0, (y + 5)(y - 3) = 0, y = -5, 3
x = y + 2 = -3, 5
iii) x - y = 7, x^2 + xy + y^2 = 14のとき
xを消去して、(y + 7)^2 + y(y + 7) + y^2 = 3y^2 + 21y + 49 = 14, 3y^2 + 21y = -35
これを満たすyは存在しない。
iv) x - y = 14, x^2 + xy + y^2 = 7のとき
xを消去して、(y + 14)^2 + y(y + 14) + y^2 = 3y^2 + 42y + 196 = 7, 3y^2 + 42y = -189
y^2 + 14y + 63 = 0
判別式D = 196 - 252 < 0より、実数解（整数解）なし
v) x - y = 49, x^2 + xy + y^2 = 2のとき
xを消去して、(y + 49)^2 + y(y + 49) + y^2 = 3y^2 + 147y + 2401 = 2
3y^2 + 147y + 2399 = 0
判別式D = 147^2 - 12・2399 < 0より、実数解（整数解）なし
vi) x - y = 98, x^2 + xy + y^2 = 1のとき
xを消去して、(y + 98)^2 + y(y + 98) + y^2 = 3y^2 + 294y + 9604 = 1
3y^2 + 294y + 9603 = 0, y^2 + 98y + 3201 = 0
判別式D = 98^2 - 4・3201 < 0より、実数解（整数解）なし
よって、i)～vi)より、(x, y) = (-3, -5), (5, 3)