x^2+4xy 5y^2=17 の整数解

質問

x^2 + 4xy + 5y^2 = 17 の整数解を求める。

　これは普通以下のように解くと思いますが、他にどんな方法で解けますか。

　　(x+2y)^2 + y^2 = 17
　　y^2 = 17 - (x+2y)^2
　　0≦y^2≦17
　　y = 0, ±1, ±2, ±3, ±4 のうち
　　y = ±1 ⇒ (x+2y)^2 = 16,　x+2y = ±4（複合任意）
　　y = ±4 ⇒ (x+2y)^2 = 1,　 x+2 = ±1（複合任意）
が適する。複合任意だから8パターンある。
　　y = 1,　x+2y = x+2 =　4, x =　2,　　(x,y) = (2,1)
(以下略)

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI） · ベストアンサー

あなたの相談内容にお答えします。x^2 + 4xy + 5y^2 = 17 の整数解を求める問題に関して、既に完成形の解法をご提示されていますね。さて、他の方法で解く場合ですが、代数的な手法や図形的な解釈を用いた方法が考えられます。ここでは1つの代数的なアプローチを示します。

別の解法としては、与えられた二次方程式を因数分解して解く手法があります。与えられた式は因数分解しにくい形をしていますが、整数解を求める際には創造的なアプローチを試してみることが有効です。

例えば、与えられた方程式に対して、ある整数kを用いて、左辺を(kx + ly)の形に変形してみることが考えられます。これにより、(kx + ly)^2となるような項をうまく取り出し、残りの部分を別の平方数として扱うことができれば、問題を平方数の差として捉え直すことができます。

別解としては、上記の方法ではなく、数学的な対称性を利用する方法もあります。たとえば、xとyの対称性を利用して、x = y + aのように置き、方程式をaの二次方程式として扱うことで、整数解を探すことができます。

しかしながら、これらの方法はあくまで理論的なアプローチを検討するためのものであり、実際に整数解を見つける際には、あなたが挙げた方法のように、具体的な値を代入して検証するのが最も手っ取り早いことが多いです。

まとめると、あなたが提案された(x + 2y)^2 + y^2 = 17と置いて解を求める方法は非常に効率的で、この問題に対する整数解を見つける上で十分適切な手法です。他にも様々な手法が考えられますが、結局のところ、それらが真に有効かどうかは問題の性質や解を見つけるべき整数解の特性によります。そのため、高度な解法を探求することにも一定の価値があるでしょうが、既に見つけた解法がシンプルかつ効率的であることを鑑みれば、他の方法を追求する必要性は低いかもしれません。

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