ガロア拡大体に関すること

質問

http://bw-www.ie.u-ryukyu.ac.jp/~wada/vhdl/GaloisField.html
で、αというのが出てきますが、これは何者ですか？
つまり、自然数なのか実数なのか虚数なのかそのどれでもないのか？
このページの中でα^(2^w - 1)＝１とは書いてありますが、
α＝（何々）というのがないので今一イメージがわきません。

回答No.9

keyguy · ベストアンサー

なぜもっと早くこの言葉を明確に出していただけなかったのでしょう？：

一番最初の締めくくりに
「nを自然数とするときGF(2^n)はn次未満で係数が0か1の多項式全体であり
複素数とか実数とは別世界のものである事に注意」
とかいてあるし
そこには前段でガロア体の構成方法まで書いていたと思いますが！
しかもその後何度も上記と同じ趣旨の事を書いていたと思いますがただ読んでないだけでしょうね

大学のレベルが下だからと言ってそこの学生の能力が下だと言う訳でもありませんしね：

勿論賢い人もいますがそうでない人が多いのです
東大に馬鹿は少ないかもしれませんが結構いるようですね

お礼

理解したる者、必ずしも良き教育者にあらず、って感じですかね。分からない人の気持ちが分からないのは自分が判っていないのと同じですよ。

意味を分かっていない人に「nを自然数とするときGF(2^n)はn次未満で係数が0か1の多項式全体であり
複素数とか実数とは別世界のものである事に注意」を理解できると勘違いしてる辺りが「結構いる」人なのかなと・・・。要は「複素数とか実数とは別世界のものである事に注意」が混乱を招いていることに気付いていないんですね。おかげで散々振り回されました。ま、分かったからいいんですけどね。

回答No.8

keyguy

「多項式（もしくはベクトル）」だと、そういう解釈であってますか？:
ＧＦ（２＾ｎ）は係数が０か１のｎ次未満の多項式です
ベクトルと考えてもいいのだが
複素数１＋ｊを（１，１）と書くようなもので構造が見えにくくなります
勿論そのほうが使いやすい場合もあります
プログラミングのときはベクトルで書くのですから

ガロア体は誤り訂正・検出符号や暗号などで使われていて特にディジタルデータの符号としてリードソロモン符号が盛んに使われるがその符号はGF(2^8)を使っています
最初CDから始まり今では・・・

２０歳で政治的に葬られるまでの間にこんなすごい事考えちゃって。神に選ばれし者って感じですね。：
女をめぐって決闘になり死んだのです
死ぬかもしれないので決闘の日までにあわてて代数の論文を書いたのです
なお彼は面接官が馬鹿だったため現在に続く超エリート学校エコールポリテクニークを落ちています
その代わり現在に続く超エリート学校のエコールノイマンに入学しています
フランスでは大学よりもこれらの学校のほうが格が上で将来が約束されています
勿論両校とも東大が足元にも及ばないことはいうまでもありません

なおＮｏ．２に１箇所間違いが見つかりました

x^0=1
x^1=x
x^2=x^2
x^3=x+1
x^4=x^3・x=(x+1)・x=x^2+x
x^5=x^4・x=(x^2+x)・x=x^3+x^2=x^2+x+1
x^6=x^5・x=(x^2+x+1)・x=x^3+x^2+x=x^2+1
x^7=x^6・x=(x^2+1)・x=x^3+x=1

最後は１になります
そのつもりで書いたので前後の文脈から読み取れると・・・

お礼

> ＧＦ（２＾ｎ）は係数が０か１のｎ次未満の多項式です

あぁ、やっと分かりました。納得です。なぜもっと早くこの言葉を明確に出していただけなかったのでしょう？「そのどれでもない」で終わらず。

> 勿論両校とも東大が足元にも及ばないことはいうまでもありません

うっ、痛てぇっ！ま、大学のレベルが下だからと言ってそこの学生の能力が下だと言う訳でもありませんしね。いや、あくまで一般論。

長きに渡ってお付き合いくださいましてありがとうございました。

回答No.7

keyguy

私の疑問はαとは何ぞやと言うことです。：

最初から何度もしつこくいっているように
例えばＧＦ（２＾２）の元は
０,１,ｘ,ｘ＋１
だけです
掛け算や足し算で２次以上の多項式が出てくればｘ＾２＋ｘ＋１で割った余りをその結果にしなければならないし
０,１以外の整数が出てくれば奇数は１に偶数は０に置き換えなければならないのです

本当ですか？：
本当です
その名前はガロア体です
有限な体はガロア体しかないので有限体ともいいます
ｑを素数としｎを自然数としたとき
ガロア体GF(q^n)においては
0,1,2,・・・,q-1
以外の整数は存在しません
それらを係数とするｎ次未満の多項式があるだけです
勿論実数とか複素数とかは存在しないのです
まぎらわしいので
0,1,2,・・・,q-1
の代わりに新たな記号をつけてもいいでしょうが
煩雑になるので数学では整数の一部と同一の記号を借用しているのです
多項式もベクトルで表現する事もできますが多項式のほうが構造を良く表しているので優れています

ＧＦ（２＾ｎ）のなかに
０，１以外の整数は存在しません
（この０と１は実はもはや整数の概念では有りませんから新しくａ，ｂと名づけても言いのです（煩雑！））
計算している途中で２が出てきたらそれは０としなければなりません

２０歳で死んだガロアが・・・

補足

すみません、ちょっと間が開いちゃいました。

αとは何ぞやの答えは、自然数でも整数でも有理数でも実数でも複素数でもなく、「多項式（もしくはベクトル）」だと、そういう解釈であってますか？

それにしてもそうなんですよね、ガロア、２０歳で政治的に葬られるまでの間にこんなすごい事考えちゃって。神に選ばれし者って感じですね。

回答No.6

graphaffine

まず、タイトルの件から。
ガロア拡大体は御紹介のホームページで出てくるガロア体とは全く別のものです。混同しないで下さい。
ガロア体は有限体とも呼ばれ、その名の通り有限個の要素を持つ体のことです。
で、質問の回答は既に#1,#2で出ています。ただ、貴兄が理解していないだけです。その、理由は体を理解していないからでしょう。#3の補足で「α＝２とすると｛０，１，α，...、α^6｝はすべて異なり、ガロア拡大体の条件を満たすことになると思います。」と書いていますが、これは体にならず条件を充たしていません。

#4の補足の2+2=0はどういう意味ですか。2+2=4のはずですが。

回答No.5

keyguy

はっきりいってＵＲＬの記述は不正確です
あまりこだわらないほうが身のためです

ＧＦ（２＾ｎ）において
０も１も
０と１を係数とするｎ次以下の多項式の範囲ではありませんか?
定数項だけが残っていて他の係数は０なだけです
数学では定数も多項式なのですよ

なお
ｘ＾４＋ｘ＾３＋ｘ＾２＋ｘ＋１
は既約多項式でありＧＦ（２＾４）を構成できますが
この多項式は原始多項式でなく
この多項式でＧＦ（２＾ｎ）を構成した場合多項式「ｘ」は先の意味の生成元にはなりません
次数が大きくなると原始多項式でない既約多項式が増えていきます

実際
ｘ＾５
を
ｘ＾４＋ｘ＾３＋ｘ＾２＋ｘ＋１
でわった余りは１ですね

補足

だんだん話が横道にそれていますが、私の疑問はαとは何ぞやと言うことです。
「自然数なのか実数なのか虚数なのかそのどれでもないのか？」とお聞きしたところ
そのどれでもないが答えだと言う回答がありましたので、本当ですか？と言うことです。

GF(2^3)において既約多項式をf(x)=x^3+x+1ととった場合、GF(2^3)は
｛0, 1, α, α^2, α+1, α^2+α, α^2+α+1, α^2+1}, α^7=1
となり、α＝２はGF(2^3)の条件を満たすのではないですか？

そもそもどれでもないんだったら何なんですか？名前はついてないんですか？

回答No.4

keyguy

#1の補足を見ていただけたでしょうか？：
すぐに間違いが見つかったのでほとんど見ていません
基本的な理解が欠けていたのでGF(2^3)を定義を示したのです

たとえば教えていただいたケースでは、α＝２とすると｛０，１，α，...、α^6｝はすべて異なり、ガロア拡大体の条件を満たすことになると思います。この場合だとαは自然数になりますよね。と言うことは別世界といえども、複素数を含んだ別世界とはいえませんか？：
2はGF(2^3)の世界では存在しないのです
αとして設定できるのは
0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1
のいずれか....だけです
GF(2^3)の世界では係数が0か1の2次以下の多項式しか存在しないのです
1+1は2ではなく0になる世界です
あなたの質問は「多項式は実数ですか整数ですか？」という質問のようなものなのです
式は実数ですか？は
本は鉄ですか？という質問のようなものです

補足

まず初めに。引用するときは引用符「> 」を着けてください。一人芝居をしてるのかと思いました。

>> #1の補足を見ていただけたでしょうか？
> すぐに間違いが見つかったのでほとんど見ていません

回答される以上こちらの補足くらい目を通してください。会話になりません。

> 2はGF(2^3)の世界では存在しないのです
> αとして設定できるのは
> 0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1
> のいずれか....だけです

例のＵＲＬには「新しくαと言う元を考え、α^(2^w - 2)とする」とあります。αが多項式だとおっしゃるのなら多項式のべき乗が１になることをどう説明なさるのですか？私にはあなたが鉄の本は鉄だとおっしゃってるようにしか見えませんが。

回答No.3

graphaffine

#1で答えたものです。
>たとえばＧＦ（２^4）でp(x) = x^2 + x + 1 の場合、
>ＧＦ（２^4）って｛０，１，α，α+1 }になりますよね？

なりません。GF(2^w)の場合、w次の既約多項式を用いますので、GF(2^4)でなく、GF(2^2)の場合として回答します。
GF(2^2)=｛０，１，α，α+1 }が体となるように、αを構成するのが最大のポイントなのですが、貴兄はどんなαを選んでもGF(2^2)は体になるとおっしゃっているのでしょうか。

＞そもそも私は何かの既成概念にとらわれているのでしょうか？
貴兄がどのような既成概念をもっているのかは私には窺い知れませんが、もしかすると次のことはそれに反するかもしれません。
「GF(2^w)の任意の要素xに対してx+x=0が成り立つ」

補足

>> ＧＦ（２^4）って｛０，１，α，α+1 }になりますよね？
> なりません。

あー、勘違い。失礼。ＧＦ（２＾2）の間違いです。

> 貴兄はどんなαを選んでもGF(2^2)は体になるとおっしゃっているのでしょうか。

まさかご存知ないとは思いませんが私は分からないから聞いているのであって、「おっしゃ」れるくらいなら初めから聞いてません。

> 「GF(2^w)の任意の要素xに対してx+x=0が成り立つ」

確かに見落としていました。でも２＋２＝０ですよね？つまりαは自然数たり得る。違いますか？

回答No.2

keyguy

{0，1}と演算+と演算・の組がGF(2)です
ただし+において通常の足し算をし結果が2になれば+の結果を0とします
・は通常の掛け算と同じです
GF(2^3)は次のように構成されます
HをGF(2)を係数とする多項式全体の集合とします
Hの中から3次既約多項式f(x)を1つ選びます
(この場合はx＾3+x+1かx^3+x^2+1のうちどちらか)
Hに含まれ次数が2次以下の多項式の集合と演算+と演算・の組がGF(2^3)です
ただし+において通常の多項式和をし2がでたらその部分は0とします
・は通常の多項式積した結果をf(x)で割った余りです
(割り算するとき+(-は+と同じ)するときには上記の+の規則に従います)
そうするとGF(2^3)の元αとしてxを選べばf(α)=0です
どうしてかというとf(x)のxにα(=x)を代入するとf(x)になり
これをf(x)で割った余りは0だからです
さてf(x)=x^3+x+1としたとき
x^0=1
x^1=x
x^2=x^2
x^3=x+1
x^4=x^3・x=(x+1)・x=x^2+x
x^5=x^4・x=(x^2+x)・x=x^3+x^2=x^2+x+1
x^6=x^5・x=(x^2+x+1)・x=x^3+x^2+x=x^2+1
x^7=x^6・x=(x^2+1)・x=x^3+1=x

なおGF(2^n)の定義において上記のf(x)に対応するn次規約多項式f(x)をうまく選べば
GF(2^n)-{0}はxを生成元とする巡回群になります
このようなf(x)を原始多項式といいます

ということで上で分かるようにx^2+x+1は原始多項式です

nを自然数とするときGF(2^n)はn次未満で係数が0か1の多項式全体であり
複素数とか実数とは別世界のものである事に注意

補足

#1の補足を見ていただけたでしょうか？
たとえば教えていただいたケースでは、α＝２とすると｛０，１，α，...、α^6｝はすべて異なり、ガロア拡大体の条件を満たすことになると思います。この場合だとαは自然数になりますよね。と言うことは別世界といえども、複素数を含んだ別世界とはいえませんか？

回答No.1

graphaffine

taropooさん、今晩は、御紹介のページを拝見しました。
GF(2^w)の話ですね。
まず、質問の回答ですがどれでもないというのが正解です。そもそも、抽象的な代数の世界の話ですから、実数や複素数などの古典的な解析の世界に囚われてはいけません。
ただ、件のページは唐突にGF(2^w)が出てきてわかりにくいことは確かですね。要するに「GF(2^w)のある要素αをとるとその累乗及び０がGF(2^w)の要素の全てである。このようなαはある既約多項式の根となる」と言うことを言っているに過ぎません。

補足

たとえばＧＦ（２^4）でp(x) = x^2 + x + 1 の場合、
ＧＦ（２^4）って｛０，１，α，α+1 }になりますよね？
ってことはαが０または１でない限り何でもいいってことにはなりませんか？とするとαは複素数でもいいように思えるのですが。ひょっとするとベクトルとかテンソルとかもっと私の知らない何かでもいいような気がするのですが。

そもそも私は何かの既成概念にとらわれているのでしょうか？とすると図書館にでも行って勉強してこようと思うのですが、なんと言う分野の教科書を読めばよいのでしょう？