エルハート多項式とエルハート級数の求め方

質問

エルハート多項式LR(t)の方の解は((tb_1)－(-ta_1)+1)×((tb_2)－(ta_2)+1)

エルハート級数EhrR(z)の方の解は1+(b_1－a_1)(b_2－a_2)∞∑(t=1))(t^2)(z^t)+(b_1+b_2－a_1－a_2)∞∑(t=1)t(z^t)+∞∑(t=1)zt

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求め方を教えてください

回答No.1

jcpmutura

正有理数a_1,a_2,b_1,b_2∈Q,a_1<a_2,b_1<b_2を固定して
P={(x,y)∈R^2|a_1≦x≦a_2,b_1≦y≦b_2}
と置く時
正整数tに対し
L(P,t)=#(tP∩Z^2)
[ta2]=int(ta2)=max{x∈Z|x≦ta_2}
[-ta1]=int(-ta1)=max{x∈Z|x≦-ta_1}
[tb2]=int(tb2)=max{x∈Z|x≦tb_2}
[-tb1]=int(-tb1)=max{x∈Z|x≦-tb_1}
とすると
#{tx∈Z|a_1≦x≦a_2}
=#{tx∈Z|ta_1≦tx≦ta_2}
=#{j∈Z|ta_1≦j≦ta_2}
=[ta2]+[-ta1]+1

#{ty∈Z|b_1≦y≦b_2}
=#{ty∈Z|tb_1≦ty≦tb_2}
=#{j∈Z|tb_1≦j≦tb_2}
=[tb2]+[-tb1]+1
だから
L(P,t)=#(tP∩Z^2)
=#{(tx,ty)∈Z^2|a_1≦x≦a_2,b_1≦y≦b_2}
=#{tx∈Z|a_1≦x≦a_2}*#{ty∈Z|b_1≦y≦b_2}
=([ta2]+[-ta1]+1)([tb2]+[-tb1]+1)

a_1,a_2,b_1,b_2が正整数の時
L(P,t)=#(tP∩Z^2)
={t(a_2-a_1)+1}{t(b_2-b_1)+1}
=(a_2-a_1)(b_2-b_1)t^2+(a_2-a_1+b_2-b_1)t+1
と
tの2次式(エルハート多項式)になる

Ehr(P,z)=1+Σ_{t=1～∞}L(P,t)z^t
とすると

|z|<1の時
Σ_{t=1～∞}z^t=z/(1-z)

Σ_{t=1～∞}tz^t
=Σ_{k=1～∞}Σ_{t=k～∞}z^t
=Σ_{k=1～∞}z^k/(1-z)
=z/(1-z)^2

Σ_{t=1～∞}t^2z^t
=z/(1-z)^3

Ehr(P,z)
=1+Σ_{t=1～∞}L(P,t)z^t
=1+Σ_{t=1～∞}[(a_2-a_1)(b_2-b_1)t^2+(a_2-a_1+b_2-b_1)t+1]z^t
=1+(a_2-a_1)(b_2-b_1)Σ_{t=1～∞}t^2z^t+(a_2-a_1+b_2-b_1)Σ_{t=1～∞}tz^t+Σ_{t=1～∞}z^t
=1+(a_2-a_1)(b_2-b_1)z/(1-z)^3+(a_2-a_1+b_2-b_1)z/(1-z)^2+z/(1-z)
=1+z/(1-z)+(a_2-a_1+b_2-b_1)z/(1-z)^2+(a_2-a_1)(b_2-b_1)z/(1-z)^3
=1/(1-z)+(a_2-a_1+b_2-b_1)z/(1-z)^2+(a_2-a_1)(b_2-b_1)z/(1-z)^3