超球の球座標

質問

超球の球座標

超球の球座標は一般的にどう表せばいいのでしょうか？
詳しく書いてある教科書を教えてください。

以下のWikipediaにも書いてあるのですが、球座標系の、x n-1 , x nの...の部分がよくわからないのです。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2

回答No.2

kagakusuki

>超球の座標を表す具体的な関数もご存知でしたら教えて下さい。

　何を仰っておられるのか意味が解りません。
　座標とは特定の点の位置を表すための数の組み合わせの事であり、超球は点ではないのですから、超球の座標というものは存在しません。
　どの様な超球に関わるどの様な点の座標を知りたいのかという事を明確にして下さい。

回答No.1

kagakusuki

>球座標系の、x n-1 , x nの...の部分がよくわからないのです。

　「三次元球面」という表現ですと普通の「三次元の球の表面」という意味にもなってしまいますので、あまり適切な表現ではないと思います。
　球に限らず、3次元の立体の表面とは「立体の内側と外側を分ける境界」の事です。
　1次元は前後の1方向しか存在しない直線上の世界であり、１次元の図形である「線分」の中に含まれている部分と含まれていない部分を分けている境界は、0次元(方向が存在しない世界)の構造である「点」になります。
　2次元は前後左右の2方向が存在する平面上の世界であり、2次元の図形である「円」の中に含まれている部分と含まれていない部分を分けている境界は、1次元の構造である「線」になりますが、この「境界線」は「直線」ではなく、２次元的に歪曲した線である「曲線」になります。
　3次元は前後左右上下の3方向が存在する立体空間の世界であり、3次元の図形である「球」の中に含まれている部分と含まれていない部分を分けている境界は、2次元の構造である「面」になりますが、この「境界面」は「平面」ではなく、3次元的に歪曲した面である「曲面」になります。
　4次元は前後左右上下の3方向の他に、人間には認識する事が出来ない「4番目の方向」が付け加わった４方向が存在する世界であり、4次元の図形である「4次元超球」の中に含まれている部分と含まれていない部分を分けている境界は、3次元の構造である「立体」(三次元空間)になりますが、この「境界の立体」は4次元的に歪曲した三次元空間である「歪曲した空間」になります。
　4次元の事を扱う数学の分野では、この様な4次元の図形の内側と外側を分ける境界の事を、「３次元的な空間の広がりを持ったもの」という意味を込めて「胞」と呼ぶ事があります。
　例えば、「立方体」の事を、6枚の「正方形」で囲まれた立体である事から「正6面体」と呼ぶのと同様に、「４次元の超立方体」は8個の「立方体」で囲まれている事から「正8胞体」と呼ばれる事もあります。

【参考URL】
　正八胞体 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%85%AB%E8%83%9E%E4%BD%93

　この様に、n次元の図形の内側と外側を分けている「境界」は、n次元よりも１つ少ない次元である「n-1次元」の構造を持っています。
　ですから、

>四次元球体は三次元球面（英語版）の内部である

という箇所も正しくは
「四次元の超球の内側と外側を分ける境界は、四次元的に歪曲した三次元空間になっていて、その三次元の空間上のどの部分も四次元の超球の中心点から等しい距離となっている」
という様な表現になるかと思います。

>超球の球座標は一般的にどう表せばいいのでしょうか？

　超球の内側と外側を分けている境界は三次元空間の構造を持っているのですから、超球座標(?)で表す際には「中心からの距離」である半径「r」の値に加えて、「θ」(緯度)、「 φ」(経度)、「 ψ」(第3の角度)という3つの角度を指定しなければなりませんので、

(r,θ,φ,ψ)

という形式で表す事になります。

>詳しく書いてある教科書を教えてください。

　超球の座標に関しては特に何も書かれてはいないのですが、四次元の超立体に関して理解を深めるためでしたら、下記のURLのページに掲載されている書籍などは比較的解かりやすく書かれておりますのでお勧めです。

【参考URL】
　講談社BOOK倶楽部 > ブルーバックス > 既刊一覧 > 発売日 > 1986年 > 4月 > 四次元の幾何学　不思議な図形の世界をのぞく
　　http://bluebacks.kodansha.co.jp/books/1986/4/

　講談社BOOK倶楽部 > ブルーバックス　既刊紹介 > 41 > 四次元の幾何学　不思議な図形の世界をのぞく
　　http://bookclub.kodansha.co.jp/product?isbn=9784061326453

補足

ありがとうございます。
超球の座標を表す具体的な関数もご存知でしたら教えて下さい。