この微分方程式は解けるのでしょうか

質問

微分方程式
-dy/dx＝Y^2 * X + 1
は解けるのでしょうか？

とある物質の反応速度を実験的に調べ、導き出した微分方程式なのですが解き方が判りません。非常に困っております。私の脳みそではどんなに考えても結論が出ませんでした。誰か教えてください。

回答No.4

DC1394 · ベストアンサー

こんにちは。

kurobe3463さんの解はたぶんy=f(x)の形になっています。ですが、非常に複雑なので素直にExcelででも数値解法を試した方がいいと思います。

Bessel（ベッセル）関数が出てきた時点で、解の形を人間だけで把握しようとするのは無理なので、Excelを使うことになりますし。

この微分方程式はRiccati（リカッティ）の微分方程式と呼ばれ、2階の線形微分方程式に帰着されます。
（http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/alte/Mathematikwissenschaft2/1.htmlの1.5参照）

つまり、
d^2u/dx^2+p(x)du/dx+q(x)=0
で、
この場合、p(x),q(x)が定数でなければ（特別な場合を除いて）初等関数（x^n,sin,cos,tan,log,expなど）の組み合わせで表すことは難しいです。

この微分方程式の解き方は（http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/alte/Mathematikwissenschaft2/3.html参照）

これを解いた結果がkurobe3463さんの解だと思います。

実際に誰か高名な数学者がdy/dx=x^2+y^2をこの方法で解いたらしいです。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=841856

お礼

ありがとうございます。
とっても難しいんですね。
ちょっと安易に考えていました。
エクセルを使って数値解析をしてみたいと思います。

回答No.7

kuruntep

もう少し詳しく聞かせて頂けないでしょうか？
--> スイマセン、私の勘違いてした、多分。
でも、簡単には解けないことには変わりないでしょうね、多分。

　dy/dx=-x*y^2-1<-1<0 (x>0 にて)
だから　y はいくらでもマイナスになる。
だから　x*y^2>>1 , -x*y^2-1 --> x*y^2 (x>>0)
するとこの方程式の解は
-dy/dx=x*y^2 の解に近づきそうなもんだけど、
上式の解は　y(x)=2/(x*x+c)
y->0 (x-->∞)
だもの。
　実数とか連続にこだわると、元の式は解を持たない
と思ったのでした。
　どこが違うのかな？

回答No.6

kuruntep

（質問者はまだ見てくれるだろうか？）
　ｘ＞＞０では実数関数の解が存在しないような気がしてきました。
　何故かというと、、、dy/dx<0 だからyは減っていくけどy=0 をよぎるとオカシナ事になりそうなので。
（Ｙとｙ，Ｘとｘは同じですよね？）

お礼

ありがとうございます。
まだ見ています。
まず、質問のXとx、Yとｙは同じ物をさしています。

すみません私の理解力では？？？
もう少し詳しく聞かせて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.5

DC1394

訂正です。

>つまり、
>d^2u/dx^2+p(x)du/dx+q(x)=0
>で、

つまり、
d^2u/dx^2+p(x)du/dx+q(x)u=0
で、
の誤りでした。申し訳ございません。

回答No.3

kuruntep

＃２の回答によれば
「初等関数の組み合わせで表現できない」ようですね。
なぜならベッセル関数は初等関数ではないから。
特殊関数ですね。
初等関数というのは、ｘ＾２とかｓｉｎ（ｘ）とか高校で習う程度の関数のことだと思います。
　この微分方程式は非線形なので、解けないほうが自然ですね。たまたま、ベッセル関数で表わされるのですね。マセマティカが解いたンだから、多分間違いないでしょう。
　私のお勧めはエクセルの利用です。

お礼

ありがとうございます。
難しそうなので解くのはあきらめます。
エクセルを使って数値解析をしてみます。

回答No.2

kurobe3463

Mathematica に解かせたら
DSolve[-y'[x] == y[x]^2 x+ 1, y[x], x]

(√x^3 BesselJ[-1/3, (2√x^3)/3]
　+2BesselJ[2/3, (2√x^3)/3]
　-√x^3 BesselJ[5/3, (2√x^3)/3]
　+√x^3 BesselJ[-5/3, (2√x^3)/3]C[1]
　+2 BesselJ[-2/3, (2√x^3)/3]C[1]
　-√x^3 BesselJ[1/3, (2√x^3)/3]C[1]
)/
(2x^2
　( BesselJ[2/3, (2√x^3)/3]
　　+ BesselJ[-2/3, (2√x^3)/3]C[1]
　)
)

BesselJ[n,z] は微分方程式
z^2 y''+ z y' + (z^2-n^2)y = 0
の線型独立な解．
http://documents.wolfram.com/v5/TheMathematicaBook/AdvancedMathematicsInMathematica/MathematicalFunctions/3.2.10.ja.html

C[1] は未定係数．

グラフで解曲線を追跡してください．

お礼

ご解答ありがとうございます。
すっごく複雑な物になるんですね。
私は数学があまり得意ではないのでできれは
Y=F(X)の形で説明していただけるとありがたいです。
もし気が向いたら教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

kuruntep

ふー、むずかし。
　色々遊んでみた結果、解けるの意味によるんですが、、解けない、私には。
　右辺の＋１が無ければ簡単に解けて、２／（ｘ＾２＋ｃ）だと思います。
　＋１があると、、うーん、わからん。
　エクセルでｘ－ｙグラフを簡単に書かせた結果によれば、＋１があっても形はそんなに変わらないですね。
　解けるの意味が「初等関数の組み合わせで表現できる」と云う意味なら、、できそうな気もしますが、、私にはできなかった。
　エクセルで書いてみたら、形は簡単に解りますね。

お礼

ありがとうございます。
なかなか難しいと言うことですね。
初等関数の組み合わせで表現できるという事をもう少し詳しく聞かせていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。