共振特性

質問

前回の質問に引き続き、式変形の質問です。
写真の回路のリアクタンスを求め直列及び並列共振回路を調べる問題で、解答は写真のようになっています。L3となっているのは、恐らくL2の間違いではないだろうかと考えられます。
そうするとL3をL2に変えた真ん中の式は出てきましたが、ここから最後の式の分子を見てみると、(1-(ω^2/ω1^2))(1-(ω^2/ω3^2))とまとめられているので、その間の式変形がよく分かりません。aω^4-bω^2+1の形になっているので因数分解ではないかと思ってやってみしたが、上手くいきませんでした。もしかしたら私が途中ミスをしているのかもしれません。
ω2の方は、写真真ん中の式の分母を(1-ω^2L2(C2∥C4))を変形して、(1-ω^2*L2*(C2C4/(C4+C2)) L2*(C2C4/(C4+C2)) =1/ω2^2と置き換えるのだろうと考えています。

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

>ここでもL1C2L3C4s^4 + {L1(C2+C4)+L3C4}s^2+ 1のs^2をxとおいて、L1C2L3C4x^2 + {L1(C2+C4)+L3C4}x + 1の式を作って因数分解を試みても、L1(C2+C4)のどちらかL1C2またはL1C4が余ってしまいます。例えばL1C2が無ければ、(L1C4x+1)(L3C2x+1)=(1+s^2L1C4)(1+s^2L3C2)=(1-(ω^2)*L1C4)(1-(ω^2)L3C2)となって分子=0を満たすω^2が求められるだろうと思いました。

< ANo.5 の「勘定例」は、

分子の
　L1C2L3C4s^4 + {L1(C2+C4)+L3C4}s^2 + 1
に L1, C2, L3, C4 の値を入れての数値解。

2 次方程式解での s^2 の零点 to は、

　　　　-{L1(C2+C4)+L3C4}±√[ {L1(C2+C4)+L3C4}^2 - 4L1C2L3C4 ]
　to = -----------------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　2L1C2L3C4

となり、更なる整形は不能らしいですネ。

　{L1(C2+C4)+L3C4}^2 - 4L1C2L3C4 = {L1(C2+C4) }^2 + 2L1L3C4(-C2+C4) + (L3C4)^2
どまり？

お礼

式の分子について、実際にL1,L2,C2,C4の値を代入してから因数分解してみるとωの値、そしてfの値を求める事ができました。
一つ一つ分かりやすく説明していただき、本当にありがとうございました。

回答No.5

178-tall

添付写真の勘定から離れ、
s=jω とし「事務的」に勘定していくのが、
サセプタンス / リアクタンス 勘定などにて錯乱するリスクが少ない。

　C2//(L3&C4)　↓　サセプタンス表示

　B = C2s + C4s/(L3C4s^2 + 1)
　　= s{C2L3C4s^2 + (C2+C4) }/(L3C4s^2+1)
　　　　　　　　↓ リアクタンス表示
　X = (L3C4s^2+1) / s{C2L3C4s^2 + (C2+C4) }
　　　　　　　↓ L1 を直列付加
　Xin = L1s + (L3C4s^2+1) / s{C2L3C4s^2 + (C2+C4) }

　　 L1s^2{C2L3C4s^2 + (C2+C4) } + (L3C4s^2+1)
　= --------------------------------------
　　　　　　s{C2L3C4s^2 + (C2+C4) }

　　 L1C2L3C4s^4 + {L1(C2+C4)+L3C4}s^2 + 1
　= -----------------------------------
　　　　　　s{C2L3C4s^2 + (C2+C4) }

… として、分母子の零点を求めてみると？

L1=10 mH, L3=20 mH
C2=3nF,　 C4=4nF
　　　　　↓ 勘定例
Xin の零 : 13.86 kHz, 37.30 kHz
Xin の極 : 27.18 kHz

[蛇足]

分母子の零点は、
　L1C2L3C4s^4 + {L1(C2+C4)+L3C4}s^2 + 1
　C2L3C4s^2 + (C2+C4)
にて s^2=x とでもすれば、2 次方程式解の手で求まる。
　L1C2L3C4x^2 + {L1(C2+C4)+L3C4}x + 1
　C2L3C4x + (C2+C4)

補足

s=jωと置き換えた事で、式変形がより簡単に感じます。すみません再度同じ質問になるのですが、やはりここでもL1C2L3C4s^4 + {L1(C2+C4)+L3C4}s^2+ 1のs^2をxとおいて、L1C2L3C4x^2 + {L1(C2+C4)+L3C4}x + 1の式を作って因数分解を試みても、L1(C2+C4)のどちらかL1C2またはL1C4が余ってしまいます。例えばL1C2が無ければ、(L1C4x+1)(L3C2x+1)=(1+s^2L1C4)(1+s^2L3C2)=(1-(ω^2)*L1C4)(1-(ω^2)L3C2)となって分子=0を満たすω^2が求められるだろうと思いました。
正しくはどのように因数分解すれば良いのでしょうか。

回答No.4

178-tall

訂正。

x=ω^2 とし、
　aω^4-bω^2+1 = ax^2-bx+1 = a(x-x1)(x-x2)
と「因数分解」をするのです。

補足

いつもとても丁寧に説明していただき助かっています。
因数分解する直前までは分かりました。
この後因数分解するには、解の公式を使えばよいのでしょうか。実際に試みたところ、とても複雑な式が現れてしまい、(1-(ω/ω2)^2)(1-(ω/ω3)^2)の形には収まりそうになかった感じがしました。

回答No.3

178-tall

蛇足をひとつ。

>ここで、
> >aω^4-bω^2+1の形になっているので因数分解ではないか…
>です。

ax=ω^2 とし、
　aω^4-bω^2+1 = ax^2-bx+1 = a(x-x1)(x-x2)
と「因数分解」をするのです。

回答No.2

178-tall

錯乱訂正。

分子は …、
　-1 + ω^2{L1(C2+C4)+(1/ω3^2)} - ω^4L1(C2+C4)/ω2^2
　= -{1-(ω/ωo1)^2}{1-(ω/ωo3)^2}
の形に因数分解可能。

回答No.1

178-tall

添付写真の (-1/ωC2)//(ωL3 - 1/ωC4) からスタートし、ひたすら勘定 …。
　　　　　　　　　　↓ サセプタンス表示
　B = ωC2 + ωC4/(1 - L3C4ω^2)
　 = { ωC2(1 - ω^2 L3C4) + ωC4 }/(1 - ω^2 L3C4)
　 = ω(C2+C4){1 - (ω/ω2)^2 }/{ 1 - (ω/ω3)^2 }
　　ただし (ω2)^2 = 1/{ L2(C2C4)/(C2+C4) }
　　　　　 (ω3)^2 = 1/(L2C4)

　　　　　　　　↓ リアクタンス表示

　X2 = - { 1 - (ω/ω3)^2 }/[ ω(C2+C4){1 - (ω/ω2)^2 } ]

　　　　　　　　↓ ωL1 を直列付加

　X = X2 + ωL1

　　　　 - {1-(ω/ω3)^2} + ω^2L1(C2+C4){1-(ω/ω2)^2}
　　=　 -------------------------------------------
　　　　　　　　　ω(C2+C4){1-(ω/ω2)^2}

　　　　-1 + ω^2{L1(C2+C4)+(1/ω3^2)} - ω^4L1(C2+C4)/ω2^2
　　=　-------------------------------------------------
　　　　　　　　{ ω(C2+C4){1 - (ω/ω2)^2 }

ここで、
>aω^4-bω^2+1の形になっているので因数分解ではないか
です。

分子は …、
　-1 + ω^2{L1(C2+C4)+(1/ω3^2)} - ω^4L1(C2+C4)/ω2^2
　= -{1-(1/ωo1)^2}{1-(1/ωo3)^2}
の形に因数分解可能。