高校数学です

質問

高校数学です

空間図形の問題なんですけど、次の問題をみてください

空間に
円柱面A : x^2-x+z^2=0
領域B : x≦1-y^2
があるとき、次の問いに答えなさい。
(1)Bのうち、A上およびAの内部にある部分の体積を求めなさい。
(2)Aのうち、Bに含まれる部分の面積を求めなさい。

というものです。
回転体の体積の問題なら回転する前に切って、その断面を回転する
など色々方針がありそうですが、この手の問題はあまり当たったことがなく、取っ掛かりも検討がつきません。

Aが円柱になり、Bが放物線をz方向に平行移動させ続けたときの軌跡(?)になり、AをBで切断すればよさそうですが、うまくわからないです……。

ご教授お願いします。

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

#1です。(2)を誤りを訂正します。
円柱面A:x^2-x+z^2=0
領域B:x≦1-y^2
(1)
{(x,y,z)|x≦1-y^2,x^2-x+z^2≦0}
=
{(x,y,z)|y^2≦1-x,z^2≦x-x^2}
=
{(x,y,z)|0≦x≦1,-√(1-x)≦y≦√(1-x),-√(x-x^2)≦z≦√(x-x^2)}
だから
0≦x≦1となるxに対する
x軸に垂直な断面は
(y長)=2√(1-x)
(z長)=2√(x-x^2)
(面積)=4(1-x)√x
の長方形となるから体積をVとすると
V
=∫_{0～1}{4(1-x)√x}dx
=4∫_{0～1}(x^{1/2}-x^{3/2})dx
=4[(2/3)x^{3/2}-(2/5)x^{5/2}]_{0～1}
=4[(2/3)-(2/5)]
=8(5-3)/15
=16/15

(2)
円
(x-1/2)^2+z^2=1/4
の半径は1/2だから
円周角をθとすると
θの円弧長はt=θ/2
だから
0≦θ≦2π
0≦t≦π
x=(1+cosθ)/2={cos(t)}^2
z=(1/2)sinθ
y^2≦(1-cosθ)/2={sin(t)}^2
だから
{(x,y,z)|x≦1-y^2,x^2-x+z^2=0}
=
{(x,y,z)|0≦t≦π,-sin(t)≦y≦sin(t)}
の面積をSとすると
S
=∫_{0～π}2sin(t)dt
=2[-cos(t)]_{0～π}
=2{1-(-1)}
=2*2
=4

お礼

回答ありがとうございます

納得です。
まだまだ積分の修練がたりないな、と思いました

積分軸を吟味する練習をします
ありがとうございました！

回答No.4

info222_

No.1です。

ANo.2の補足の質問に対する回答

>∫∫∫ってのは重積分ってやつですか？
そうです。３重の積分（x方向の積分、y方向の積分、z方向の積分です）。微小増分(dx,dy,dz)をそれぞれx,方向、y方向,z方向に足し合わせていけば、３次元立体の体積が求まるわけですね。
立体の体積の場合は一般的には３重積分、面積の場合は一般的には２重積分になります。
回転体の体積や、多項式などの陽関数の面積を求めるような場合は、一般的な積分に対して
、重積分の積分記号がより少なくなる場合があります。

>あと(2)は偏微分…？
そうです。難しく考える必要はありません。

x方向に微分する場合の微分は、他方向の変数ｙとzは変化しない、つまりyとzは定数として扱います。これを,ｘの偏微分と呼びます。
関数z(x,y)をxで偏微分するときの記号として∂z/∂xや∂z/∂yというdy/dxにおけるdをバルクした記号（ラウンドデー）∂　使います。
この場合、d/dｘはxの関数をxで微分する場合の記号として使いますが、
∂/∂xは、２変数以上の関数をxだけを変数として微分し、他の変数を定数とみなして微分する場合の微分記号です。

お礼

2変数関数における積分、および微分の記号だったのですね！

参考になりました！

回答No.2

info222_

>円柱面A : x^2-x+z^2=0
>領域B : x≦1-y^2
(1)
>Bのうち、A上およびAの内部にある部分の体積を求めなさい。
V=∫∫∫[D] dxdydz
D={(x,y,z)| x≦1-y^2, x^2-x+z^2≦0}
={(x,y,z)|0≦x≦1, -(1-x)^(1/2)≦y≦(1-x)^(1/2), -(x-x^2)^(1/2)≦z≦(x-x^2)^(1/2)}

対称性から
V=4∫∫∫[D'] dxdydz
D'={(x,y,z)|0≦x≦1, 0≦y≦(1-x)^(1/2), 0≦z≦(x-x^2)^(1/2)}

V=4∫∫[E] {∫[0, (1-x)^(1/2) dy} dxdz=4∫∫[E] (1-x)^(1/2) dxdz
E={(x,z)| 0≦x≦1, 0≦z≦(x-x^2)^(1/2)}

V=4∫[0,1] (1-x)^(1/2) dx ∫[0,(x-x^2)^(1/2)] 1 dz
=4∫[0,1] (1-x)^(1/2)＊(x-x^2)^(1/2) dx
=4∫[0,1] (1-x) x^(1/2) dx
=4∫[0,1] {x^(1/2)-x^(3/2)}dx
=4[(2/3)x^(3/2)-(2/5)x^(5/2)] [0,1]
=4{ (2/3)-(2/5) }
=16/15 ... (答)

(2)
>Aのうち、Bに含まれる部分の面積を求めなさい。
曲面の面積をSとおくと
z＜0とz＞0の曲面がxy座標平面に対称であるのでｚ≧0の方の曲面の２倍を求めればよい。
曲面の面積の公式より
S=2∫[D] √{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)} dxdy
D={(x,y)|0≦x≦1,x≦1-y^2}
={(x,y)|0≦x≦1, -(1-x)^(1/2)≦y≦(1-x)^(1/2)}
z^2=x-x^2 (z≧0)
z=(x-x^2)^(1/2)
∂z/∂x=(1/2)(1-2x)(x-x^2)^(-1/2)
(∂z/∂x)^2=(1/4)(1-2x)^2 / (x-x^2)
∂z/∂y=0
√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)}=√{1+(1/4)(1-2x)^2 / (x-x^2)}
=(1/2){4(x-x^2)+(1-2x)^2}^(1/2)/(x-x^2)^(1/2)
=(1/2)/(x-x^2)^(1/2)

S=2 ∫[0,1] dx ∫[-(1-x)^(1/2), (1-x)^(1/2)] (1/2)/(x-x^2) ^(1/2) dy
=2 ∫[0,1] dx ∫[0,(1-x)^(1/2)] 1/(x-x^2)^(1/2) dy
=2 ∫[0,1] (1-x)^(1/2)/(x-x^2)^(1/2) dx
=2 ∫[0,1] x^(-1/2) dx
=2[2x^(1/2)] [0,1]
=4 ... (答)

お礼

回答ありがとうございます

∫∫∫ってのは重積分ってやつですか？
あと(2)は偏微分…？

すみません、まだ高校現役生なのでよくわからなくて……

回答No.1

jcpmutura

円柱面A:x^2-x+z^2=0
領域B:x≦1-y^2
(1)
{(x,y,z)|x≦1-y^2,x^2-x+z^2≦0}
=
{(x,y,z)|y^2≦1-x,z^2≦x-x^2}
=
{(x,y,z)|0≦x≦1,-√(1-x)≦y≦√(1-x),-√(x-x^2)≦z≦√(x-x^2)}
だから
0≦x≦1となるxに対する
x軸に垂直な断面は
(y長)=2√(1-x)
(z長)=2√(x-x^2)
(面積)=4(1-x)√x
の長方形となるから体積をVとすると
V
=∫_{0～1}{4(1-x)√x}dx
=4∫_{0～1}(x^{1/2}-x^{3/2})dx
=4[(2/3)x^{3/2}-(2/5)x^{5/2}]_{0～1}
=4[(2/3)-(2/5)]
=8(5-3)/15
=16/15

(2)
{(x,y,z)|x≦1-y^2,x^2-x+z^2=0}
=
{(x,y,z)|y^2≦1-x,z^2=x-x^2}
=
{(x,y,z)|0≦x≦1,-√(1-x)≦y≦√(1-x),z=±√(x-x^2)}
の面積をSとすると
S
=2∫_{0～1}2√(1-x)dx
=4∫_{0～1}√(1-x)dx
=4∫_{0～1}(t^{1/2})dt
=4[(2/3)t^{3/2}]_{0～1}
=8/3

お礼

回答ありがとうございました

要するに放物線型のカッターで円柱を真上から垂直に切ったら、側面がz軸に平行になることに気づけばよかったのですね！

(2)ですが、
2∫_{0～1}2√(1-x)dx
を計算すると、4になりませんか？