国語辞典的には、つまり元々の意味は同じです・・・ が、今は、そこから転じて生じた意味・用法が多いです。
つまり、現代では違う意味のことが多いですね。
「寝覚め」は「寝覚めが悪い」というような用法でしか見ませんね。
「あんなにハッキリと拒否することはなかったかもしれない。どうも寝覚めの良くないことをしてしまった（寝覚めが悪い）」的に、自分がした行為の後味が良くない、後悔している、自分の行為が気になって気持ちが穏やかにならない、というような意味です。
ハッキリと悪いことをした（例えば殺人）場合は、「寝覚めが悪い」レベルの話ではありません。悪い感じはするが悪いとはハッキリ断定できないときの、モヤモヤした感じが「寝覚めの悪い」状態です。
「目覚め」は、午前5時に目が覚めた、というような使い方よりは、「性の目覚め」「長男としての意識の目覚め」のような、いままで眠っていた感覚的・精神的・肉体的なものが現れる・行動し出すこと、というような意味で使います。
たんに「朝の5時に布団のなかで・・・ 」というような場合は「目覚め」という名詞ではなく、「目が覚めた」というような動詞で使う場合が多いように思います。もちろん「おめざめですか？」的用法もアリです。
ちなみに「おめざ」というと、「お目覚まし」の略ですが、幼児が目を覚ました時に与える「お菓子」類の意味になります。
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