位置エネルギーとエネルギー保存則について

質問

今、床に落ちているボールを拾って棚の一番上に置きました。
ボールの位置エネルギーは増えたはずです。
このボールの位置エネルギーは私の腕の筋肉のエネルギーが変換されたものであり
それはまた昨日食べた牛肉から変換されたものであり・・・と、
それはいいのですが、今度は逆に棚の上から床にボールを移しました。
私の腕のエネルギーも使いましたが、ボールの位置エネルギーも減少しました。
このエネルギーはどこに変換されたのでしょうか？

はじめて投稿させてもらいます。
自然科学が好きでよく本を読みますが疑問がでても
質問する相手がいなくて困っていました。
低レベルで恥ずかしいのですが・・・。
よろしくお願いいたします。

回答No.8

ryumu · ベストアンサー

楽しそうなので、混ぜさせてもらいます。

せっかくだからニュートンの運動方程式を立ててしまいましょう。
空気抵抗等は無視しましょう。

重力は、垂直方向にしか効かないので、垂直方向だけに運動方程式を立てましょう。
鉛直上向きを正として座標をとり（床をｘ＝０）、位置をｘ、速度をｖ（＝ｄｘ/ｄｔ ＜０）、ボールの質量をｍ、重力加速度をｇ、ボールを支えている力をｆ（＞０）、時間をｔと置くと、

　　ｍ（ｄｖ／ｄｔ）＝　-ｍｇ　＋　ｆ　　　・・・（＊）

となりますね。（＊）式をエネルギー表現するには、（＊）の両辺にｖをかけて、

　　　　ｍｖ（ｄｖ／ｄｔ）＝　-ｍｇｖ　＋　ｆｖ

　<->　　ｄ（（１/２）ｍｖ＾２）/ｄｔ＝　-ｄ（ｍｇｘ）/ｄｔ　＋　ｆｖ

　<->　　ｄ［（１/２）ｍｖ＾２　＋　ｍｇｘ］/ｄｔ　-　ｆｖ＝０

そして、時間で積分するのでした。

　　　（１/２）ｍｖ＾２　＋　ｍｇｘ　-　∫ｆｖｄｔ＝　＜一定＞

ここで、（１/２）ｍｖ＾２　は運動エネルギー（Ｋとします）、ｍｇｘは位置エネルギー（Ｕとします）、∫ｆｖｄｔ　は支えた腕のした仕事（Ｗとします）です。
書き直すと、

　　　　Ｋ＋Ｕ-Ｗ＝＜一定＞

となり、時間ｔによらず、エネルギーが一定であることを示す、エネルギー保存則が得られます。この保存則は、（＊）式が成り立つ条件下（すなわち床や棚との接触がない移動の時間）で成り立ちます。

ｔ＝０の時、これはちょうど高さｈの棚の上のボールをつかんだ時（ボールは手以外に接触はないとします）になりますが、そのときはｖ＝０なので、

　　＜一定＞＝Ｕ（ｘ＝ｈ）＝ｍｇｈ

となります。
で、ボールを床（ｘ＝０）のところに持っていったとき、

　　　　　　　ｍｇｈ＝Ｋ－Ｗ　　　・・・（＊＊）

となりますね。
すなわち、始めの位置エネルギーは、運動エネルギーと腕の成した仕事（ただしｆは上向き（正）でｖは下向き（負）なので、Ｗは負となります。すなわち腕は、仕事をされた＝エネルギーを与えられたことになります）に変換されます。

ですから、ボールを下ろした時に腕は位置エネルギーの一部あるいは全部を吸収する事になるのですが、そのエネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない（なぜなら腕とボールは一緒に動いているから）ので、腕に取ってはkajuramさんがおっしゃるように負荷となります。で、その負荷はjoshua01さんの説明の通り、熱になります。
ちなみに（＊＊）より、Ｋが存在する場合、腕にかかる負荷は小さいことになりますね。

補足

なるほど、hero1000さんのおっしゃる「マイナスの仕事」とか
joshua01さんのおっしゃる「エネルギーの吸収」というのは
腕がエネルギーを与えられた、という事だったんですね。
想像もしない事だったのでhero1000さんやjoshua01さんへの補足の欄に
見当違いの事を書き込んでしまいました。ごめんなさい。
エネルギーの吸収による腕の運動エネルギーが変化していない、
というのがいまいちよく解りません。
もうちょっと詳しく説明してもらえるとありがたいのですが
この欄に書き込んで再回答もらえるのかなぁ？
よろしくお願い致します。

回答No.4

hero1000

力学的エネルギー保存則に、腕の筋肉のエネルギーを関与させることはできま
せん。したがって、位置エネルギーは何かのエネルギーを使って減少したので
はなく、「仕事」によって減少したことになります。
（「仕事」は重力と同じ方向に物を動かした場合にはマイナスになるからです。）

腕の筋肉のエネルギーの損失を知るには、高さごとに腕の筋肉にかかっている
負荷の総計を出すしかないでしょう。このときの「負荷」は、ボールが自由落
下しようとしているのを阻んでいることを前提に考えねばなりませんが。

補足

さっそく回答をいただきありがとうございました。
ボールが腕の力で床に下ろされた時にボールの為した仕事とはなんでしょうか？
腕にマイナスの仕事をさせた、ということでしょうか？
それと、エネルギー保存則に腕の筋肉エネルギーを関与させる事はできないので
しょうか？
太陽から来たエネルギーが植物になり、植物を食べた牛になり、牛肉を食べた
私の腕の筋肉になり、ボールを持ち上げた、では間違いでしょうか？
こういった、回答に対する質問はこの欄に書き込んでも再回答いただけるのかなぁ

回答No.3

kajuram

みなさんの回答されているエネルギーもそうですが、でも一番大きくエネルギーを
消費しているのは、重力によって加速されながら落ちて行こうとしてるボールを
腕が支えていることによるエネルギーではないでしょうか？

補足

さっそく回答をいただきありがとうございました。
ボールが失った位置エネルギーは、ボールを支えて床に下ろした腕の
エネルギーから熱となって発散した、ということでしょうか？
こういった、回答に対する質問はこの欄に書き込んでいいのかなぁ？
これでも再回答いただけるのかなぁ？

回答No.2

ranx

まず床とボールの変形のエネルギーに変わります。
次にそれぞれの振動のエネルギーに変わります。
さらに音＝空気の振動のエネルギーに変わり、
最後は熱のエネルギーになります。

お礼

さっそく回答をいただきありがとうございました。
これからも質問させていただきます。
よろしくお願い致します。

回答No.1

sesame

ボールが床に落ちてぶつかったときに、ボールと床、そして空気の振動（音）、熱に変換しました。
それは床につながっている建材や地面、そして大気中を伝わりながら減衰ししていきました。

＃低レベルどころか、とてもいい質問だと思いますけど。

お礼

さっそく回答をいただきありがとうございました。
これからも質問させていただきます。
よろしくお願い致します。