無限なのに「増える」？

質問

無限の性質に関して質問します。

例えば、自然数の数は無限です。そして自然数の数は増減しません。
この例から、一般に、ある集合が無限集合である場合、その集合の要素は増減しないということが言えるのでしょうか。
それとも、一般化することができずに、対象となる無限集合固有の性質によって異なる結果がありえるのでしょうか？

例題として、
宇宙空間の体積という集合Uを考えます。
集合Uが無限集合である場合、Uの要素は無限であり、したがってUの要素は増減しないので、宇宙空間の体積は増えない。つまり宇宙空間は膨張しない。
逆に宇宙空間が膨張するという観測事実を真とすれば、この集合Uは無限集合ではない。
と言っても良いのでしょうか？

問題の整理が数学的でなくて申し訳ありませんが、数学のご専門の方（＝無限の扱いに慣れている方）は、「無限なものが増減する」という命題をどう捉えるのか知りたくて質問しております。

数学の専門でない素人に分かるように解説していただだければ有り難いです。

回答No.26

noname#212313 · ベストアンサー

> ちなみに、宇宙（＝観測可能な宇宙）の体積をN3とおき、観測可能でない部分も含む宇宙（＝大宇宙？）をNと置くと、面白いことに、下記の三つが同時に成り立ちます。
> １．N⊃N3であり（＝N3はNの真部分集合になります）

　問題ないだろうね。

> ２．且つ、NとN3は全単射であり（要素どうしで一対一の対応が取れます）

　そのように操作することは可能だろうね。

> ３．且つ、N-N3≠Φ（空集合ではない、、、N5とかN7とかがあります）

　N⊃N3であって、N⊇N3ではないということの帰結だろうね。

> ただし、上記の三つが成り立つためには、NとN3が共に無限集合でなければなりません。

　要素の個数としてはね。実数の集合で1次元で次のような1対1対を考えてみようか。

　ユークリッド平面上に無限遠の直線1があるとする。半直線ではなく、直線だ。
　この直線に接するように半径1の円もあるとする（交わらないように離れていてもよい）。
　この円の中心を通り、直線1に平行な直線2を引く。円との交点をA、Bとしておこう。
　円の中心から始まる半直線を用意し、AからBまで、直線1側で半直線を動かす。回転、と言ったほうが分かりやすいかもしれないね。
　このとき、半直線が直線1と交わるは、直線1の全てを通る。

　こうして、有限長の曲線と無限長の直線に1対1対応が作れる。3次元空間なら、これが3つあれば、無限大体積のユークリッド3次元空間と有限体積の対応が作れる。点の個数としてはね。

　実数で対応が取れるということは、有理数に限定してみても対応が取れる。上記の半円で等間隔でない目盛を許せば、整数での対応も可能だ。当たり前ではあるが、念のため申し添えておく。

> まあ、観測できない方は無限だと主張しても構わないので、観測できる宇宙の方が無限かどうかが重要です。（体積が無限でも、内包する線が無限でも良いですけど、、）。

　何について無限と考えているかということだよ。あなたが考えてみた対応あるいは包含関係というのは、体積については何ら情報をもたらさないわけだ。距離は点の個数ではないからね。

　観測できる宇宙の体積が有限ということは、ほとんど考えるまでもなく確定している。平坦な3次元空間に存在する有限半径の球であるからね。

> しかし、観測できると言う事は、数値化できると言う事であり、数値化できるということは無限大はあり得ない、と言う事でしたね。

　その通りだよ。あなたは考えが全く進まないようだが。もう少し平易な教科書を探してはどうかね？

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

noname#212313

> 大工としては、部屋番号をプラス１しても、部屋と自然数が１対１対応しているってのが分かりやせんぜ。

　無限大ゆえ対応する。

> 結局、プラス１する前に１対１対応が完成していなかったからこそ、プラス１しても大丈夫なんちゃうか？

　いや、プラス1する前も完璧に1対1対応であるし、プラス1した後も完全に1対1対応である。それが無限大というもの。

　自然数をいったん偶数と対応させることができるのも無限大だから。そして奇数を割り込ませてもやはり無限大であり、もともとの自然数と一致する。これも無限大だから。

　果てが無い、ということをもう少し考えたほうがいい。

お礼

再度の投稿ありがとうございました。

たしかに、自然数全ての集合も、偶数だけの集合も、おなじアレフ０の可付番無限だから、１対１の対応がありますな。
どうも大工の頭では、数学の理解が、自然界の理解に繋がらない。
これが問題ですね。

回答No.4

noname#212313

無限ホテルのオーナー「今年も部屋を増築するぞ。おい大工、あと1部屋増築してくれ」
大工「ヘーイ、旦那さま、お安いご用ですよ。ただし、増築する部屋の部屋番号を事前に頂くことが条件ですがね」
無限ホテルのオーナー「まだ分かっとらんようだな。いいか、まず今の各部屋の番号をプラス1して書き換えろ。すると部屋番号は2から始まるな。そうしたら、部屋番号1の部屋を増設だ」
大工「へ、へえ。分かりやした」
無限ホテルのオーナー「来年は部屋数を倍増するぞ。まず部屋番号を2倍に書き換える。1、2、3、…を2、4、6、…にする。偶数だ。分かるな？」
大工「……へえ」
無限ホテルのオナー「そうしたら、1、2、3、…と奇数の番号の部屋を増設だ」
大工「えっと……全部で何部屋になるんで？」
無限ホテルのオーナー「間抜けなことを聞くな。無限大だ」

お礼

先生様、無限はアッシには無理なようで、、、。

どうもありがとうございました。

補足

大工としては、部屋番号をプラス１しても、部屋と自然数が１対１対応しているってのが分かりやせんぜ。

結局、プラス１する前に１対１対応が完成していなかったからこそ、プラス１しても大丈夫なんちゃうか？

回答No.3

notnot

あくまで数学の範囲の話です。
＞したがって、t＋1時刻に、今以上体積を増やそうとしても、最小体積のキューブに割り当てる番号（自然数）が残っていない。

時刻tに於ける自然数nについてその割り当て対象をf(t,n)とすると、
f(t+1,n) = f(t, n-1) ただし n>=2
とすると、f(t+1,1) には新たに対象を割り当てることが出来ます。

子どもの頃に、たとえ話で読んだのは、
「自然数無限大個の客室のあるホテルがある。あるとき満室だったのに、お客さんが来た。そこで、1号室のお客さんに2号室に移ってもらい、2号室のお客さんに3号室に移ってもらい、というのを繰り返すと、1号室が空いたので、そこに新しいお客さんに入ってもらった。」

お礼

再度の投稿ありがとうございます。

「時刻tに於ける自然数nについてその割り当て対象をf(t,n)とすると、
f(t+1,n) = f(t, n-1) ただし n>=2
とすると、f(t+1,1) には新たに対象を割り当てることが出来ます。」

必ずしも正確に理解できておりませんが、時刻＝ｔにおいて、「全ての自然数への割り当てが完了」していなかったということではないのでしょうか。

無限ホテルのオーナー「今年も部屋を増築するぞ、、、。おい大工、あと1部屋増築できるかい？」
大工「ヘーイ、旦那さま、お安いご用ですよ。ただし、増築する部屋の部屋番号を事前に頂くことが条件ですがね、、、。」
無限ホテルのオーナー「、、、、、、。」

補足

そのホテルの話に関して、No.10の回答のお礼欄に、小話を書いてみましたので、御時間があれば、ご照覧ください。

回答No.2

notnot

増減を考えるということは、時間軸が必要ですが、「自然数」という概念に時間軸はないので、「増減」ということが意味不明になります。

「宇宙は無限だが、時間とともに刻々と物質が新たに生まれている」と言うこと自体は数学的には内部矛盾は無いと思います。

お礼

投稿ありがとうござます。

「宇宙空間の体積が現時点で無限である」という命題を考えてます。
数学では体積は連続量であると考えるかもしれませんが、ここでは物理学者の主張を取り入れて、一辺がプランク長の立方体（可能な最小体積）のキューブが無限個あって、宇宙空間を満たしていると考えます。

時刻tで、宇宙空間の体積が無限であるという事を換言すると最小体積のキューブに自然数で番号を付けて、すでに未使用の自然数が無いという状態です。

したがって、t＋1時刻に、今以上体積を増やそうとしても、最小体積のキューブに割り当てる番号（自然数）が残っていない。

背理法で言うなら、t＋1時刻にまだ割り当て可能な自然数が残っているとすると、t時刻時点では体積は無限では無かった（未使用の自然数があった）ということにならないでしょうか。

回答No.1

noname#212313

> 例えば、自然数の数は無限です。そして自然数の数は増減しません。

　既にここで誤り。無限について増減などは考えられない。

> この例から、一般に、ある集合が無限集合である場合、その集合の要素は増減しないということが言えるのでしょうか。

　同様に誤り。

> 例題として、宇宙空間の体積という集合Uを考えます。
> 集合Uが無限集合である場合、Uの要素は無限であり、したがってUの要素は増減しないので、宇宙空間の体積は増えない。つまり宇宙空間は膨張しない。

　まるで無意味な例題というしかない。膨張してよい。

> 逆に宇宙空間が膨張するという観測事実を真とすれば、この集合Uは無限集合ではない。と言っても良いのでしょうか？

　駄目。

　こういう例題を提示しておきます。

　1、2、3、…と部屋番号が振られた無限個の部屋を持つホテルがあった。ある夜、ホテルは満室であった。そこへ1人の客が現われ、泊めて欲しいと言った。ホテルは全宿泊客に「番号が1つ大きい部屋へ移動してください」と頼み、宿泊客はその通りにした。番号1の部屋が空き、新たな客はそこに泊まった。

　あんまり無限を軽々しく扱わないほうがいい。多少ややこしい話では、｛0, 1, 2, 3, …｝の無限集合に含まれない自然数がある、なんて証明もある。無限についてはこれ以上説明しない。疑問があれば、自分で数学基礎論などを調べてもらいたい。

お礼

有難うございました。