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無限集合の性質について考える
- 無限集合の増減についての一般的な性質を考えることはできるのか？
- 宇宙空間の体積を例に、無限集合の増減について考えてみる。
- 数学の専門家によれば、無限なものが増減するという命題は矛盾することではないが、具体的な性質によって異なる結果が得られる可能性もある。
- Mokuzo100nenn
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> ちなみに、宇宙（＝観測可能な宇宙）の体積をN3とおき、観測可能でない部分も含む宇宙（＝大宇宙？）をNと置くと、面白いことに、下記の三つが同時に成り立ちます。 > １．N⊃N3であり（＝N3はNの真部分集合になります） 問題ないだろうね。 > ２．且つ、NとN3は全単射であり（要素どうしで一対一の対応が取れます） そのように操作することは可能だろうね。 > ３．且つ、N-N3≠Φ（空集合ではない、、、N5とかN7とかがあります） N⊃N3であって、N⊇N3ではないということの帰結だろうね。 > ただし、上記の三つが成り立つためには、NとN3が共に無限集合でなければなりません。 要素の個数としてはね。実数の集合で1次元で次のような1対1対を考えてみようか。 ユークリッド平面上に無限遠の直線1があるとする。半直線ではなく、直線だ。 この直線に接するように半径1の円もあるとする（交わらないように離れていてもよい）。 この円の中心を通り、直線1に平行な直線2を引く。円との交点をA、Bとしておこう。 円の中心から始まる半直線を用意し、AからBまで、直線1側で半直線を動かす。回転、と言ったほうが分かりやすいかもしれないね。 このとき、半直線が直線1と交わるは、直線1の全てを通る。 こうして、有限長の曲線と無限長の直線に1対1対応が作れる。3次元空間なら、これが3つあれば、無限大体積のユークリッド3次元空間と有限体積の対応が作れる。点の個数としてはね。 実数で対応が取れるということは、有理数に限定してみても対応が取れる。上記の半円で等間隔でない目盛を許せば、整数での対応も可能だ。当たり前ではあるが、念のため申し添えておく。 > まあ、観測できない方は無限だと主張しても構わないので、観測できる宇宙の方が無限かどうかが重要です。（体積が無限でも、内包する線が無限でも良いですけど、、）。 何について無限と考えているかということだよ。あなたが考えてみた対応あるいは包含関係というのは、体積については何ら情報をもたらさないわけだ。距離は点の個数ではないからね。 観測できる宇宙の体積が有限ということは、ほとんど考えるまでもなく確定している。平坦な3次元空間に存在する有限半径の球であるからね。 > しかし、観測できると言う事は、数値化できると言う事であり、数値化できるということは無限大はあり得ない、と言う事でしたね。 その通りだよ。あなたは考えが全く進まないようだが。もう少し平易な教科書を探してはどうかね？
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- Water_5
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お礼 有難うございます。 ＞私は根本的な疑問として、無限、 ＞あるいは無限大という概念に合致するモノが ＞自然界に（哲学の用語では形而下に）無いと ＞仮説しています。 自然界にはたくさんあります。無いと言う証明は ありません。それに付随した実験結果もありません ＞自然界に無限（＝無限集合に全単写する ＞集まり）や無限大（＝数値）があるなら、 ＞それを示してもらいたい。 ＞よく「時間は無限だ」という表現に ＞出くわしますが、今、現在138億年と言う有限の ＞値を持っている時間を、何倍にしようと ＞無限になることは有りません。 ＞これは数学の基礎中の基礎ですから、 ＞時間が（時刻が）無限の値をしめうことが ＞無いというのは同意頂けるでしょう。 同意できません。 ー138億年ｘ∞＝ー無限億年 です。（この数式は数学基礎論において万人が認める公式です。） ＞「宇宙の体積が無限かもしれないという仮説」 ＞があるそうで、これを調べてみたら、 ＞これは観測可能な宇宙の事では無くて、 ＞我々と因果関係をもちえない観測可能な宇宙の ＞外側を含めての議論だそうで、 ＞私自身はそちら方面には興味が無い。 興味がないのはあなたの勝手だが、NASAの宇宙物理学者は宇宙空間は無限と考えています。 ＞あくまで、我々に何らかの因果関係がある ＞この宇宙（The Universe)、観測可能な宇宙の ＞中に、何か数学のアレフ０の無限集合と ＞全単写するもの（＝ものの集まり）が ＞あるのかどうか、これが気に成っています。 この宇宙の時間と空間は無限集合です。 ＞あるいは有限の数値では決して表現できない、 ＞無限大という数値を示す、温度や、密度や、 ＞質量や、熱量や、速度や、何でも良いから、 ＞有限の数値で示すことができない実在の現象 ＞があればそれを示してもらいたい。 温度、密度、質量、熱量、速度は∞とみています。 貴方が有限だというなら、∞でないことを証明 しなければなりません。 現在は光の速度が上限です。しかし、将来、 超高速の素粒子が発見されるかもしれません。 あくまでも現在の物理学において有限と言うことです。 ＞この疑問の根本は、宇宙が今までに使った ＞時間は有限（＝たぶん138億年ぐらい） ＞だから、有限の時間に無限のモノはつくれない ＞のではないか、という素朴な疑問なのです。 再度繰り返すことになるが -138億年ｘ∞＝－∞ 過去の時間については、創るものではありません。 すでに創られたものです。しかも連続体の濃度で。 以上
お礼
ありがとうございました。
> すみません。ご気分を悪くしたのであればご容赦ください。 謝罪は不要であるし、気分について気にせずともよい。別の事を尋ねているのだからね。で、答えない理由は何かね？ > さっきのはただの小話で原質問とは別でございます。 その小話で何を説明したかったのかを言いたまえ。あれだけの量を書いたのだ。意図はあるのだろう？ それを説明すればよい。 さらに、現時点でどうしても分からない点も明確にしてもらいたい。ただし、勉強しても分からないことだけに限る。質問とは、学んで分からないことを尋ねるものだからね。他人があなたの頭の中身までは肩代わりできない以上、やむを得ないことなんだよ。
お礼
有難うございます。 このスレッドの原質問とは異なりますが、私は根本的な疑問として、無限、あるいは無限大という概念に合致するモノが自然界に（哲学の用語では形而下に）無いと仮説しています。 で、自分の仮説に反証があるかどうか、興味があります。 自然界に無限（＝無限集合に全単写する集まり）や無限大（＝数値）があるなら、それを示してもらいたい。 よく「時間は無限だ」という表現に出くわしますが、今、現在138億年と言う有限の値を持っている時間を、何倍にしようと無限になることは有りません。これは数学の基礎中の基礎ですから、時間が（時刻が）無限の値をしめうことが無いというのは同意頂けるでしょう。 「宇宙の体積が無限かもしれないという仮説」があるそうで、これを調べてみたら、これは観測可能な宇宙の事では無くて、我々と因果関係をもちえない観測可能な宇宙の外側を含めての議論だそうで、私自身はそちら方面には興味が無い。 あくまで、我々に何らかの因果関係があるこの宇宙（The Universe)、観測可能な宇宙の中に、何か数学のアレフ０の無限集合と全単写するもの（＝ものの集まり）があるのかどうか、これが気に成っています。 あるいは有限の数値では決して表現できない、無限大という数値を示す、温度や、密度や、質量や、熱量や、速度や、何でも良いから、有限の数値で示すことができない実在の現象があればそれを示してもらいたい。 ブラックホールの事象の水平面の向こう側の特異点というヤツ、まだ良く理解できていないが、きっと、今後、現在、知られていないパラメーターが発見されて、特異点問題が解決されるのではないか、と想像しています。 この疑問の根本は、宇宙が今までに使った時間は有限（＝たぶん138億年ぐらい）だから、有限の時間に無限のモノはつくれないのではないか、という素朴な疑問なのです。 数学上の質問ではなくて、すみません。 この世に無限があるか、形而上にしか無限は無いのか。 それが目下最大の疑問です。
多少、手ほどきだけはしておこうか。 無限を考えるときには、二つのやり方がある。一つは「無限個の何かが既に実存する」というものだ。無限というとき、たいていこちらをイメージするだろう。「実無限」と呼ばれている。 もう一つは、「永遠に繰り返すことができる、要素を生み出す手続き」というものだ。「可能無限」という。多少分かりにくいかもしれない。 先に無限ホテルの部屋番号で『右隣の部屋より1多い』というやり方を示したのは覚えているね？ 忘れたのなら先の回答を見直してもらいたい。これは可能無限のやり方なんだよ。最初の部屋を1と定めれば、1から始まる自然数の無限連番が生じる。2と定めれば2からだ。 こういう手法を帰納的と言う。帰納的定義を使って可能無限が作れるわけだ。直に自然数を書いた場合は実無限と考えてよい。比較してよく考えてみるとよいだろう。 可能無限は手続きが定まるだけに、数学では使いやすい。数学基礎論の自然数の乗法の定義の一つはこんなものだ。自然数が0から始まるとし、加法「m+n」は定義済みだとする。 ・m, nを任意の自然数、suc(要素)を要素の次の自然数とする。自然数の乗法は次のように定められる １．m×0＝0 ２．m×suc(n)＝(m×n)＋m これで全ての自然数について、計算方法を含む乗法の定義は済む。帰納法による可能無限を使っているから、こんな2行で済む。実無限ではおそらくはできまい。無限個の乗算について示さねばならないからだ。 肝は「示す」ということにある。計算を実際に行わずとも、どんな自然数の乗算も答含めて既に存在していると考えてよいだろう。もし存在していない乗算があるのなら、その乗算を行うときに正しいことを証明せねばならないが、直観としてはそんなことはない。 それを簡潔に示せるのが、帰納法による可能無限での乗法の定義であるわけだ。注意したいのは、既に無限個ある乗算の手続きを無限に繰り返す必要はないということ。手続きから無限個だと分かれば、無限個の乗算が矛盾なく存在していることも示せている。 あなたは実無限に対して実際の操作を行わない限り、無限が扱えないと勘違いしてはいまいか？ そんなことはないわけなんだよ。無限個を列挙できないなら、無限個を示す操作がエンドレスに存在することを示せばよい。 数学でも、数学のユーザーである物理学でも、不可能を示すには、「どんな方法を使っても不可能である」ことを示さねば、不可能だとは論証できない。逆に可能な方法がたった一つでもあれば、可能である証明は済む。不可能な場合があることについて、勘違いせんように。
お礼
どうもありがとう。
> 大先生、大工と御隠居の漫才、どんなもんですか？ ご隠居も全く理解できていないですなあ。溜息しか出て来ないが、まあ続けよう。 １．初期状態が無限個の部屋が満室であり、そこへ現われた客1人を泊める。 もしくは、 ２．無限個の部屋があり、さらに一部屋増設する。 だったんじゃなかったのかね？ 忘れてしまったのかね？ 客は既に無限個の各部屋にいるとすればよい。それが気に入らないなら、空の部屋として、部屋の増設を考えればよい。無限に1を加える論理としては、どちらでも同じだよ。 無限が生じるのを禁止する手段に過ぎないことを語ってどうしたいのかね？ こう考えたら無限は出て来ない。そういう話をあなた（≒ご隠居）は始めたわけだ。 しかし、そういう話をしているわけではないよね？ 質問表題は「無限なのに「増える」？」と、あなたが書いている。質問文にも「例題として、宇宙空間の体積という集合Uを考えます。集合Uが無限集合である場合、」と書いている。 無限を前提としたのは、他ならぬ、あなたであるわけ。無限大を聞いておきながら、無限大は出て来ないよ～ん。混乱したお子様の屁理屈だと思うのだがね。あなたは齢いくつだった？ で、何が質問なのかね？ 無限大があるときに、その無限大には何かを足す余地があるかどうかなのかね？ 無限大がそもそも出て来ないということなのかね？ それとも、無限大にさらに何か足せるなら、屁理屈をこねてみたかったのかね？ しっかりしてもらいたい。自分が聞きたいことを明確にし、ぶれないようにしてもらいたい。そうできない、そうしないなら、単に回答者をからかっているに過ぎず、言語道断といえる。 無知の割に衒学気取りな輩にはよくあることだ、あなたはそうではあるまい？ 真面目に返答してもらいたい。以上
お礼
すみません。ご気分を悪くしたのであればご容赦ください。 さっきのはただの小話で原質問とは別でございます。
- Water_5
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宇宙空間Uは無限集合であるため、増減しないというのは正しいように思います。 無限集合もいろいろあってアレフ０、アレフ１があるのは知っていますよね？ 宇宙物理学上の宇宙空間の膨張収縮は相対性理論上の議論であって数学基礎論とは関係ありません。
お礼
有難うございました。
大工「しかしですねー、旦那。無限個の部屋のドアの番号を全部プラス1にして書き換えるのは、ちと骨ですぜ。多少は弾んで頂かないと」 無限ホテルのオーナー「だから、それはもう教えてあるだろう、きのう。一番最初、つまり一番端のドアにはどう書いてある？」 大工「えっと、1ですな」 無限ホテルのオーナー「その左隣のドア、つまり2番目の部屋のドアは？」 大工「『右隣の部屋より1多い』と書いてありますぜ」 無限ホテルのオーナー「さらにその左隣は？」 大工「それも『右隣の部屋より1多い』、おや、その左隣も『右隣の部屋より1多い』だ」 無限ホテルのオーナー「そういうことだ。2番目からは全部『右隣の部屋より1多い』と書いてあるんんだよ。だから1部屋増設は簡単だろう？」 大工「何がです？」 無限ホテルのオーナー「2番目の部屋の番号を具体的に言ってごらん。3番目もだ」 大工「1多いんだから2。その次はまた1多くて3」 無限ホテルのオーナー「そうだ。4番目以降も同じことなのは分かるな？ では、1番目のドアの1を2と書き替えてごらん。そして、2番目と3番目の部屋番号はいくつになるか考えてごらん」 大工「1を消して2と。すると2番目は3、3番目は4に変わりますな……あっ」 無限ホテルのオーナー「そういうことだ。部屋番号を2に書き換えた部屋の左に部屋を一つ増設すれば、工事は完了ということなんだよ。」 大工「あー、なるほど。部屋の数を倍にする件は？」 無限ホテルのオーナー「とりあえず、2に書き直したのを1に戻しておこうか。倍にするなら、部屋番号1の部屋と隣の部屋の間に、ドアに『右隣の部屋より1多い』と書いた部屋をこのホテルの部屋数と同じだけ、つまり無限個増設すればいい」 大工「あー、なるほど。じゃあ今年と来年の増設工事はその要領で」 無限ホテルのオーナー「いや、もうできてるんだよ。さっきの部屋を一つ増設した工事も、部屋数を倍にする工事もだ。部屋の増設はもうできていたんだからね」 大工「ど、どういうことで？」 無限ホテルのオーナー「それが無限ということだよ」 大工「えっと……」 無限ホテルのオーナー「もともと君は不要だったんだよ。だから、もう来なくていい」
お礼
大工「御隠居さん、今日はひでぇ目に遭いましたよ。」 御隠居「大工、なんだい元気の無い顔して、、、」 大工「イエね、町はずれの無限ホテル、ご存じでしょ？ あそこのオヤジに、大工なんて不要だ、なんて言われてねぇ。呼び出しておいて酷いオヤジだ。」 御隠居「ひょっとして、無限ホテルの満室の話かい？」 大工「そうなんですよ。良くご存じで。」 御隠居「そんなん、まやかしだよ。まやかし。」 大工「えっ？満室なのにまだチェックインできるという魔法の様な話が、まやかしなんですかい？」 御隠居「ああ、そうだよ。無限ホテルの誇大広告ってんで、有名なまやかしだ。」 大工「ちょっと、そのまやかしの種明かしをしてくれねぇかな、御隠居さん」 御隠居「部屋数の話に入る前に、”満室になった”と言っておったろ？」 大工「へい、たしかに満室になったと言ってやした。」 御隠居「そこがまやかしなんだ。あのホテルは満室になんかなったことがないんだ。だって、あのホテルを満室にするには、宿泊客を無限にチェックインせねばならんのだぞ。」 大工「へえ、ホテルの帳場で宿帳に記入して、鍵を受け取る、アレですね」 御隠居「そうだ。アレだよ。そのチェックインに一人1分でも時間がかかるとするじゃないか。そのチェックイン所要時間で、無限の部屋すべてに宿泊客を入れるのに何時間掛ると思うね？」 大工「へえ、5時間ぐらいですか？ それとも残業して６時間？」 御隠居「バカ言っちゃあイケナイよ。だからお前はいつまでも大工なんだ。もっと勉強してマンションの基礎工事ぐらいできるようになれよ！」 御隠居「まあ、お前さんの職業は良いとしてだな、無限の客室に無限の宿泊客をチェックインさせるのは、5時間や6時間じゃなくて、有限の時間ではできないことなんじゃよ。」 大工「へえ。有限の時間では無限の部屋を満室にできないんですか。」 御隠居「そうよ、だから”満室になった”ってのが嘘っぱちなんだよ。」 大工「へえ。嘘っぱちねぇ」 御隠居「無限の部屋数をもつホテルが満室に成るというのを専門的に言うと、自然数からなる集合とチェックイン済みの宿泊客からなる集合の全単写像が成立するというんじゃ。」 大工「全単車ですか。」 御隠居「ちがう。全単写だ。」 御隠居「これは、形而上学、あるいは数学という抽象的な学門では可能な写像の一つだが、形而下学（あるいは自然科学や物理学）では、時間的制約があって、無限集合と地上の存在（宿泊客など）が全単写をすることができないのじゃよ。」 御隠居「正確に言うと、自然界のモノ、宿泊客でも、石ころでも、ニュートリノでも良いがな、自然界にあるものが、無限集合と全単写をするには無限の時間を要するのじゃ。そして、時間はいままで有限の時、そうねだいたい138億年ぐらいしかたっていないので、”まだ全員のチェックインが終了していない”のであって、”満室になった”というのが嘘なんだ。」 大工「、、、、、。」 御隠居「これは、単に無限ホテルのチェクインの話に留まらないぞ。無限という抽象概念をこの世の具象物と全単写できる、という考えが妄想なんじゃよ。」 御隠居「自然界は、有限の時間で作り上げられた有限の具象物からなりたっておるのであって、、、、、」 大工「ススススス、、、、」 御隠居「なんだ、もう居眠りかい」 大先生、大工と御隠居の漫才、どんなもんですか？
> １．物理学は経験則だが？ > ２．数学に点がある以上、物理学でも使う。 > １と２を同時に言ってしまうとこが「凄い」ですね、、。 んー、こういうところがあなたのかかっている呪縛なのだろうね。経験則というものは具象べったりのものである。数学の述べるところは極めて抽象度の高いものである。その二つが共存するなど矛盾である。こんなところだろうかねぇ、例えば。 その呪縛とは、もちろん具象と抽象という点が直接的なものではあるね。まあ、そこが疑問になるのは分からなくもない。よく考えていないときに起きがちなことだからね。 数学は、ある時期以降、具象性を極端に排した。だからこそ、数学が数学だけで閉じ、数学の正しさを数学で保証できないか、試みてきたわけだ。具象が関与しないからこそ、できるかもしれないことだ。できない、と言ったのがゲーデルであるわけだね。これも具象性を排した数学だからこそ言えることでもあるわけだね。 具象物が関与していれば、具象物について完璧に述べなければならないが、おそらくは不可能だ。具象物から切り離された数学だからこそ、数学の範囲内だけで論証が可能になっている。 そんな具象性ゼロで抽象度の極めて高い数学が、現実の現象べったりの具象の極みたる物理学でどうして役に立つのか。そんなことは誰も知らない、分からないわけだよ。物理学は現実の事象の振舞いを記述する学問であるわけだが、数学から探すとぴったりの数式、理論がある。 自然言語では記述できないようなことが、数学にはある。なぜそうなのかは誰も知らない。知らなくてもいいわけだね。実際にあるんだから。そして、現象に対応する数式を操作してみた結果、未知の現象もいくつも記述していて、中には実際に起こる現象が見つかったりもする。 繰り返すようだが、そうなる理由は誰も知らないんだよ。物理学は経験則であり、かつ数学を使う。それでいい、ということもまた、経験則であるわけだ。数学と物理をほとんど知らなければ、なかなか分からないことだとは思うけどね。 と、ここまでが前置きといったところかな。真の問題は、現状の自分の知識だけで、かつ我意のみをもって推し量り、現状の自分で納得できるものだけを求めることにある。簡単に言えば、何に対しても呼びつけるがごとき態度ということだ。真理は自らを歪めてまで阿ってはくれんよ。気を付けたほうがいいと思うね。 > 確かに、ゲオルグ・カントールも精神病院で死んだし、クルト・ゲーデルも拒食症になって餓死したと聞きました。 先の注意は初学者向けだよ。そういうレベルの高い人間のことは気にしなくていい。 > 純粋数学ってやつは、狂気で凶器なのかもしれませんね。 初学者が数学基礎論をかじってみる場合についてだけだよ。
お礼
どうもありがとう。
> しかし、「マクロは実数だ」という考え方は、たんに経験則として問題が無いというだけのことではないのですか？ 物理学は経験則だが？ 宇宙の果てなんて膨大にでかいもの、見えないミクロの世界についても、観測する技術の進展により経験の範疇に入って来たから理論化と観測事実との照合が進むわけだ。 幸いなことに数学という全く具象から離れた手法が使えてはいるが、数学で可能な操作のうち、経験則に合致するものを選んでいる。経験則として問題があれば、排除される。当たり前だがね。 > 経験していないことまで検討する・思考するときには、このような経験則による前提条件を一旦はずして考える。 ここは仮説を立てる姿勢としては、その通り。 > その後に経験則の範囲で考えても支障が無いと言う事が確認できた後には、経験則をアプライしても良い。 前段は理論が既知の事実を説明できていて、内部矛盾がないということだろうね。後段の経験則をアプライで何を言いたいかは不明だね。理論が未知の現象を予測していて、その予測が実験・観測で確認されるということなら、ほぼ必須といってよい。 > 素人の考えをひとつ紹介させてください。 > いつかどこかで質問した事もあるのですが、ブラックホールのイベントホライゾンの向こう側に特異点（＝密度が無限大になる）があるという話。これは、現代の数式が世界を正確に記述できていないから、間違った「答」にミスリードしている例だと思うのです。（素人考えですよ、あくまで） 素人考えだね。物理学としては考え以前だ。思うだけなら物理学は不要だよ。 > だって、この世（この宇宙）で密度が無限に成る為には、体積がゼロに成らない以上（＝ここではプランク長さを意識しますね）、質量が無限でなければならず、質量が無限になるには、有限の質量を持つ物質をいくら足しても到達しないわけですからね（宇宙全体の質量を足しても有限だと思っておったからね）。 いや、マクロ（古典と言い換えても可）では体積ゼロを想定するんだよ。数学に点がある以上、物理学でも使う。ただし、大きさはゼロという有限、質量も有限でも、密度は無限大になるため、重力理論としては特異点そのものは扱う方法がない。 しかし古典的な点（※リングのような1次元の線も含む）は物理学では、ミクロの物理学が扱う。そのため、量子力学が重力理論に適用されなければ、解明が進まない。ところが、量子化しようとすると無限大の発散が生じて、なかなか理論化がはかどらない、というのが現状だ。 > つまり、「今、手にしている数式が特異点を示すから、この宇宙に密度無限のところが存在するはず」という推論は本末転倒で、この宇宙の現象を正確・厳密に記述する数式は未だ手に入れていないという前提・仮説で議論を進めないとイケナイのじゃないかと思うのです。素人はね。 手に入れてないが？ 誰か、手に入れたと言っているのかね？ > 先生は、物理がご専門なのか数学がご専門なのか存じ上げませんが、理論物理ってのは、現在手に入れている数式を疑うことよりも、それを適用可能だという前提で物事を進めることが多いのですか？ 仮説のうち、検証に耐えたものが選ばれて理論になるんだよ。数式が出てきたとして、数学的に間違いないなら、理論の範囲内で内部矛盾がない限り、却下できるものではない。その数式に従う物理現象があるかどうかだよ。なお、合格なものが複数あれば、適用範囲の広さ、単純さなどの観点でどれか一つが選ばれることが多い（ということは、複数のまま共存することもある）。 > 先生ね、大工は、正式な教育を受けたことが無いので、迷信レベルの事にとらわれてしまうんだな。 迷信以前だと思うがね。 > いつだったか、ルベグ測度とかいう、学校で習ったことも無い難しい話になったとき、> 「実数の集合からその要素を一つ抽出するとき、それが整数である確率」がゼロである、と教わって、それ以来、実数（＝稠密）ってのが空恐ろしくなって、高等学校当たりでは習わない離散数学の方が、まだ違和感ないんじゃないかって思うようになったのですよ。 ゼロで何を言いたいか次第だね。ゼロと聞いただけで拒否反応を示すようでは、ちょっと情けないだろう。整数だけでなくともよい。√2の整数倍でも同じことだ。 全ての整数の中からランダムに選んで0を選んだとしても、確率はゼロだろう？ 0以外のどんな整数でも同じだ。確率はゼロとでも言っておくしかない。しかし、一つ選べばある一つの整数が選ばれるのも事実だ。 どう表現するかなんだよ。微積分学としては古い概念にはなるが、無限小で考えてもよいよ。どれかが選ばれる確率を-∞から+∞まで足す、もしくは積分すれば確率は1になる。単なるゼロならそうはならん。その程度は考えてみたのかね？ > しかし、今回の質問をしてみて再認識したのですが、「無限」という数学上の概念に合致するものが、我々が暮らす自然界（＝この宇宙）にあるとは、全くもって思えなくなった。 別に構わんよ。 > どうも物理学の場合は、推論だけじゃ駄目で、観測事実ってやつが重要だし、学問のない素人には観測事実なんてのはWikipediaに書いてあることぐらいしか知り様が無いので、まさに五里霧中に成らざるを得ませんな。 いろいろ一般向け解説があると思うんだけどね。その中の一つを見て、得手勝手な妄想をした挙句、五里霧中になるのは、自分の選択した結果なのだから、自分でケリを付けることだ。今回の一連の質問程度のことで、物理学には全く問題は出てはおらん。あなただけに生じた問題だよ。 > その点、観測事実とは無縁で定義と推論だけで成立する数学ってのは、まだ素人が頑張って研究して、理解が深まる様な気がします。 そう思うなら、そうしてみればいいんじゃないかね。無限大の理解がちょっとおぼつかないようだが。個人的には物理学のほうが楽のような気がするが、個人の志向は個々人次第だろうね。 > 還暦過ぎて、もうじき、毎日が日曜日になる予定ですから、少しずつでも数学基礎論とやらを勉強してみたいと思っています。 これは私自身が碩学から受けた警告だが、数学基礎論は下手に手を出すと正気が保てないような代物だ。例えば1+1は2であると言うのに数百枚も論じるような学問だからね。注意してやったほうがいい、と私からも伝えておこう。
お礼
長文の解説ありがとうございます。 １．物理学は経験則だが？ ２．数学に点がある以上、物理学でも使う。 １と２を同時に言ってしまうとこが「凄い」ですね、、。 ＞数学基礎論は下手に手を出すと正気が保てないような代物だ。（中略）注意してやったほうがいい、、、 確かに、ゲオルグ・カントールも精神病院で死んだし、クルト・ゲーデルも拒食症になって餓死したと聞きました。 純粋数学ってやつは、狂気で凶器なのかもしれませんね。
> たしかに、自然数全ての集合も、偶数だけの集合も、おなじアレフ０の可付番無限だから、１対１の対応がありますな。 アレフ0で考えるから、いろいろ分からなくなっているんだと思うんだけどね。宇宙の件については、無理にプランク長さでデジタル化する必要もない話なんだよ。マクロな物理学では実数で扱っているわけだから、距離は。 空間1次元分を実数の数直線で考えてみるといい。無限大の長さをいきなり考えなくてもいい。とりあえず0～1の区間ですな（今は端点はどうでもいい）。もしどうしても、0～1の外が気になるなら、1の長さごとにアレフ0の無限個にしておけばいいだろう。以下の0～1についての話は、どの1の長さの区間でも成立する。 0～1の区間には実数が稠密にあるよね、アレフ1で。この0～1を均等に2倍に引き伸ばしたとする。なお、引き伸ばすときに、この0～1の区間に何も実数（点と言い換えても可）は補充しないとする。どこかに断続は発生するか。しないよね。相変わらず稠密で連続だ。 有限の倍率なら、0～1の区間をいくら引き伸ばしても同様になる。0～1をn倍に引き伸ばし、その区間に新たに長さ1の区間を取る。この長さ1の区間は、元の0～1の区間と比べて、実数の稠密性に何か違いはあるか。ないよね。 このことは無限長の実数の数直線全体でも成立する。そして数直線を三つ用意すれば3次元にできる。この宇宙も空間3次元だよね、マクロには。マクロな物理学が開いた宇宙全体について言っているのはそういった話だよ。繰り返すようだが、マクロな物理で扱う距離はプランク長さなどに制限されず、実数だからね。実数なら膨張なんていとも容易い。かけ算しておけばいい。 必ずしも理解しなくていいが、理解せぬまま無限なんだから伸びない（膨張しない）はず、なんてことは世迷言のレベルだということだけは知っておいてもらいたい。以上。
お礼
先生ね、大工は、正式な教育を受けたことが無いので、迷信レベルの事にとらわれてしまうんだな。 いつだったか、ルベグ測度とかいう、学校で習ったことも無い難しい話になったとき、 「実数の集合からその要素を一つ抽出するとき、それが整数である確率」がゼロである、と教わって、それ以来、実数（＝稠密）ってのが空恐ろしくなって、高等学校当たりでは習わない離散数学の方が、まだ違和感ないんじゃないかって思うようになったのですよ。 しかし、今回の質問をしてみて再認識したのですが、「無限」という数学上の概念に合致するものが、我々が暮らす自然界（＝この宇宙）にあるとは、全くもって思えなくなった。 どうも物理学の場合は、推論だけじゃ駄目で、観測事実ってやつが重要だし、学問のない素人には観測事実なんてのはWikipediaに書いてあることぐらいしか知り様が無いので、まさに五里霧中に成らざるを得ませんな。 その点、観測事実とは無縁で定義と推論だけで成立する数学ってのは、まだ素人が頑張って研究して、理解が深まる様な気がします。 還暦過ぎて、もうじき、毎日が日曜日になる予定ですから、少しずつでも数学基礎論とやらを勉強してみたいと思っています。 何時もインスパイアリングな回答をいただき、どうもありがとうございました。
補足
＞繰り返すようだが、マクロな物理で扱う距離はプランク長さなどに制限されず、実数だからね。 多くの物理学者がそういう前提（マクロは実数）で思考しているという状況は理解しました。 しかし、「マクロは実数だ」という考え方は、たんに経験則として問題が無いというだけのことではないのですか？ 経験していないことまで検討する・思考するときには、このような経験則による前提条件を一旦はずして考える。その後に経験則の範囲で考えても支障が無いと言う事が確認できた後には、経験則をアプライしても良い。 素人の考えをひとつ紹介させてください。 いつかどこかで質問した事もあるのですが、ブラックホールのイベントホライゾンの向こう側に特異点（＝密度が無限大になる）があるという話。これは、現代の数式が世界を正確に記述できていないから、間違った「答」にミスリードしている例だと思うのです。（素人考えですよ、あくまで） だって、この世（この宇宙）で密度が無限に成る為には、体積がゼロに成らない以上（＝ここではプランク長さを意識しますね）、質量が無限でなければならず、質量が無限になるには、有限の質量を持つ物質をいくら足しても到達しないわけですからね（宇宙全体の質量を足しても有限だと思っておったからね）。 つまり、「今、手にしている数式が特異点を示すから、この宇宙に密度無限のところが存在するはず」という推論は本末転倒で、この宇宙の現象を正確・厳密に記述する数式は未だ手に入れていないという前提・仮説で議論を進めないとイケナイのじゃないかと思うのです。素人はね。 先生は、物理がご専門なのか数学がご専門なのか存じ上げませんが、理論物理ってのは、現在手に入れている数式を疑うことよりも、それを適用可能だという前提で物事を進めることが多いのですか？
- notnot
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＞時刻＝ｔにおいて、「全ての自然数への割り当てが完了」していなかったということではないのでしょうか。 いえ。完了しています。 もういちど、よく考え直してみてください。 ＞無限ホテルのオーナー「今年も部屋を増築するぞ、、、。おい大工、あと1部屋増築できるかい？」 最初から無限個あるので、増築は不要です。 増築しなくても、あとから追加で来た客を何人でも泊めることができるのが、無限と言うことです。
お礼
たび重なる投稿ありがとうございます。 ＞最初から無限個あるので、増築は不要です。 現時点で宇宙の体積が無限であれば、これ以上体積が増大しないということと同じ意味ですか？
お礼
ありがとうございました。