物理学の問題です。

質問

次の問題の解き方と解答を教えて下さい。

一直線上を静止状態から一定の加速度α(＞０）で動き出し、速さｖになってからはしばらく等速度で動いた後、一定の加速度‐β（β＞０）で減速して止まった。

この間の移動距離はＬであった。所要時間を求めよ。さらに、α、β、Ｌが一定のとき、所要時間の最小値とそのときのｖの値を計算せよ。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

> 一直線上を静止状態から一定の加速度α(＞０）で動き出し、速さｖになってからはしばらく等速度で動いた後、一定の加速度‐β（β＞０）で減速して止まった。

速さｖになった時刻をt0,等速度で動いた時間をT, 時刻t1=t0+Tから一定の加速度‐β（β＞０）で減速して時刻t2に止まったとする。

1）横軸に時間tをとり縦軸に速さvをとったダイヤグラムを書くこと。これは基本的には中学生の作業。台形の図形が描けましたか。
2) 横軸に時間tをとり縦軸に距離xをとったダイヤグラムを書くこと。これは1)のダイヤグラムを積分したもの。t0までは下にとつの放物線、t0～t1は直線、t1~t2は上にとつの放物線。

t0=v/α,t1=t0+T, t2=t1+V/βは解りますか。
t=0でv=0,x=0
0<t<t0でv=αt, x=αt^2/2
t=t0でv=V,x=V^2/2α=x0
t0<t<t1でv=V, x=x0+V(t-t0)
t=t1でv=V,x=V^2/2α+VT=x1
t1<t<t2でv=V-β(t-t1), x=x1+V(t-t1)-β(t-t1)^2/2
t=t2でv=0,x=L=x1+V(t2-t1)-β(t2-t1)^2/2
を導けましたか。最後の関係
L=x1+V(t2-t1)-β(t2-t1)^2/2
にx1,t1,t2を代入して
L=V^2/2α+V^2/2β+VT
これをTについて解くと
T=[L-V^2(α+β)/(2αβ)]/V

所要時間=t2=t1+V/β=t0+T+V/β=V/α+V/β+T=V(α+β)/(αβ)+L/V-V(α+β)/(2αβ)
=L/V+V(α+β)/(2αβ)
この最小値は相加相乗平均の関係より
t2≧2√[(L/V)×(V(α+β)/(2αβ)]=2√[L(α+β)/(2αβ)]=√2[L(α+β)/(αβ)]
であるので
最小値は√2[L(α+β)/(αβ)]
最小値はL/V＝V(α+β)/(2αβ)の時であってこれよりV=√[2Lαβ/(α+β)]のとき所要時間は最小となる。

補足

t2はＬ/Ｖ-Ｖ(α+β)/2αβではないですか？