容器の水を移す

質問

360 リットルの水が入った容器Ａと、同じ大きさのからの容器Ｂがあります。

１回目はＡの 1/3 の量をＢへ移します。

２回目はＢの 1/4 をＡに移します、

３回目はＡの 1/5 を移します、次はＢの 1/6 をＡへ…… この方法で次々と移していきます。無限に動作を行った時、Ｂの容器には何リットルの水が入っていますか。

回答No.2

ryn · ベストアンサー

直感的に最終状態で移動がなくなることから
等量になるような気がしましたが，
いちおう式でやってみました．

「ＡからＢに移したあと，ＢからＡに移す」
という操作を１セットと考えます．

また，n回操作終了後のＡ，Ｂの内容量を
　a[n] , b[n]
とします．
具体的には，
　a[0] = 360 , b[0] = 0
　a[1] = 270 , b[1] = 90
といった感じです．

ここで，a[n],b[n] に対して(n+1)回目の操作を考えます．
まずは，Ａの 1/(2n+3) をＢに移すと，
　Ａ：　a[n] - a[n]/(2n+3) = (2n+2)/(2n+3)*a[n]
　Ｂ：　b[n] + a[n]/(2n+3)
となり，さらにＢの 1/(2n+4) をＡに移すと
(少し式が見づらいので結果だけ書きます)
　Ａ：　{ (2n+3)a[n] + b[n] }/(2n+4)
　Ｂ：　{ a[n] + (2n+3)b[n] }/(2n+4)
となります．

これが，(n+1)回操作終了後の内容量なので
　a[n+1] = { (2n+3)a[n] + b[n] }/(2n+4)　　　…(1)
　b[n+1] = { a[n] + (2n+3)b[n] }/(2n+4)　　　…(2)
という漸化式が成り立ちます．

(1)+(2) を計算すると，当然ですが
　a[n+1] + b[n+1] = a[n] + b[n]
という，内容量の総和は変わらないという式が得られます．
この式の両辺の値は
　a[n] + b[n] = … = a[1] + b[1] = a[0] + b[0] = 360
です．

また，(1)-(2) より
　a[n+1] - b[n+1] = (n+1)/(n+2)*(a[n] - b[n])
という式が得られるので
　a[n] - b[n]
　= n/(n+1)*(a[n-1] - b[n-1])
　= {n/(n+1)}*{(n-1)/n}*(a[n-2] - b[n-2])
　= {n/(n+1)}*{(n-1)/n}*…*{2/3}*{1/2}(a[0] - b[0])
　= (a[0] - b[0])/(n+1)
　= 360/(n+1)
となります．

あとは，
　a[n] + b[n] = 360
　a[n] - b[n] = 360/(n+1)
を連立させると
　a[n] = 180*(n+2)/(n+1)
　b[n] = 180*n/(n+1)
を得ます．

nを無限に飛ばせば，どちらも
180リットルの水が入っていることになります．

お礼

式の表現・記法（a[n] 等）から、感心いたしました。
漸化式までは私も考えましたが、常道？の差分a[n] - b[n] を考えつかずストップしてしまいました。
このように、やっぱり最終的な解が式で表されると、様子がよくみえます。
すばらしい回答どうもありがとうございました。

回答No.1

sanori

１回目が「Ａの1/3をＢへ」でなくて「Ａの1/2をＢへ」から始まって、次が1/3、1/4と続く問題ならば、参考ＵＲＬと全く同じなんですけどね・・・。

回答になってなくてすみません。

参考URL：

http://www.sansu-olympic.gr.jp/class1/q1.html

お礼

参考ｕｒｌの問題を変えてつくりました。
参考ＵＲＬは特殊なときのもので、一般的になってないので、たまたま気が付かないと解けません。
式でのアプローチはどうなるかなと。
また、同量に近づかない場合はどんあ場合か知りたくて出しました。
回答どうもthank　youです。

補足

なお余談ですが、参考ｕｒｌの問題を解く小学生は１９９９Ｌの1999回目でで考えるのでなく。1×2×3×4×5×6=720（Ｌ）で
最初の3サイクル（ＢにいれＡへ戻すで1サイクルとする）思考実験すれば、考えつくだろうと思いました。