領域についての定性的な理解についての質問です

質問

領域についての定性的な理解についての質問です

cos2y=-sinx、0≦x≦2π、0≦y≦π
のグラフを図示すると、写真の左の方の赤線になります。これはsinかcosに揃えてやることで、簡単に導けます。
さて、x,yが同じ範囲で
cos2y>-sinx
の領域を図示することを考えます。
境界線は上に同じで、(0,0)を代入すると、この式を満たすので、この境界に囲まれた区域は題意を満たします。というのも、仮にこの区域で不等号の向きが変わるとすると、連続的に動かす以上、必ず(左辺)=(右辺)となる場所があるはずですが、もちろんそれが境界線以外にないのは自明なので、それはないです。
したがって、最悪、各区域の任意の点について、代入して、不等式が成立するか確認すれば、領域が書けることになり、写真の右の図のようになります。
しかし、そんなことをしなくても、(0,0)で成り立つことを調べたら、題意が成り立つ区域の隣の区域は含まない、また、成り立たない区域の隣の区域は含む……というふうになりそうですが、これはどのようにして、説明できるでしょうか？綺麗なチェック柄になりそうですが……。
ご教授お願いいたします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

f(x,y)=cos2y+sinx
でyを固定しxを変化させると関数値0の前後で符号が変化するといえるでしょう。(ただしy=0，π/2，πのときを除く)
またxを固定しyを変化させると関数値0の前後で符号が変化するといえるでしょう。(ただしx=π/2，3π/2のときを除く)
これで綺麗なチェック柄になることは納得できるのではないかしら。

お礼

なるほど！

片方固定して、縦方向のみ、横方向のみ動かそうとしたんですけど、反例をどう考えたらいいのか、分からなかったんですけど、単に、
sinx=1,cos2y=1
となれば、f(x,y)は常に0以上になる、と考えたら良かったですね（笑）

完全に理解できました！

回答No.1

bran111

例えば
　　xy>0
の領域は第1象限、第3象限で原点を中心にして反時計回りにxyは+,-,+,-,....と変化します。従って
　　x(x-1)(x-2)・・・y(y-1)(y-2)・・・＞0
は第1象限をチェック柄で埋め尽くすでしょう。
しかし
　　x^2y^2>0
はどの象限に行っても成り立ちます。これはx=0またはy=0上では0だがそれを過ぎるとまた正になり、要するに境界線の両側で+ということでチェック柄は構成できないことになります。
　　x^3y^3>0
ならばチェック柄は復活します。それは実数で場合、x^2,y^2は符号に影響を与えないので最初からのぞいておいて
　　xy>0
を考えれば良いということになります。
このような符号に影響しない因子の除去を適宜施すことができればチェック柄は保証されるでしょう。

お礼

なるほど！

考えにも及びませんでした！
確かに綺麗な図がかけますね！

非常に参考になりました！
ありがとうございました！