積の形で表現された式の領域はなぜ、隣接しない箇所の領域になるのか？

質問

例えば（x+y-1)(2x-3)(y+1)>0 …(1)　で表される領域を図示するには，境界線である３本の直線
x+y-1=0 , 2x-3=0 , y+1=0
を描き、例えば(0,0) などの点を(1)に代入して-1×(-3)×1>0 であることから(0,0)が(1)の内部の点であることなどを調べ，(0,0)を含む領域と隣接しない領域を次々と塗りつぶしていく方法が有名ですが，なぜ、隣接しない領域が，求める領域になるのかがわかりません。
境界線を越えると，符号が変化するからという説明文をよく見かけるのですが，この符号が変化するという記述がなぜそうなるのかわかりません。

回答No.3

tgb · ベストアンサー

「境界線を越えると，符号が変化するから」を少しだけ丁寧に説明してみます。

a=x+y-1, b=2x-3 , c=y+1として、
f=a・b・c>0
の領域を求めたいとします。

a、b、cのいずれでもいいのですが、その１つをとってみると、その線上（境界上）で、例えば、
a=0
となります。その線上以外の点ではa>0またはa<0となります。更に、a>0となるような点を１つ選んでそこから
少しずつ移動させるとａの値は変化しますが、その線とクロスし(越え)ない限りはa>0のままです。a<0の場合も同様で、クロスしない限りはa<0のままです。このことは他のb、cについても同様に言えます。
つまり、点を移動させる時自分自身の線とクロスさせる時に限りa、b、cの符号は変化します。

そこである点でf>0だったとして、その点から少しずつ移動してfの値の変化を見るとa、b、cの線を越えない限りa、b、cの符号は変化しないのでfの符号も変化しません。また、a、b、cのいずれかの線とクロスする場合は「そのいずれか１つの変数の符号だけが変化する」のでfの符号が変化することになります。

と言うことで、境界(どの境界であっても)を越える度に符号は交互に＋－に変化します。

お礼

問題の式を置き換えることで簡単になり、とても考えやすくなるところに感動しました。
疑問点が解けました。本当に感謝します。

回答No.2

koko_u_u

>前半の隣接しない領域が求める領域になるというのは、なぜなのでしょうね？

という疑問が残るのであれば、後半の疑問点についても十分理解できているとは言えません。

お礼

自分なりにもう一度考えてみます。

有り難うございました。

回答No.1

koko_u_u

x+y-1 = 0 で二分割された平面を描いて、x+y-1 > 0 の領域に「＋」、x+y-1 < 0 の領域に「－」と書きます。

次に、2x-3 = 0 で二分割された平面を描いて、やはり 2x-3 > 0 の領域に「＋」、2x-3 < 0 の領域に「－」と書きます。

さらに、y+1 = 0 で二分割された平面を描いて、y+1 > 0 の領域に「＋」、y+1 < 0 の領域に「－」と書きます。

出来上がった３枚の平面を重ねて、
「＋」「＋」「＋」となっている領域は掛け算して「＋」、
「＋」「＋」「－」となっている領域は掛け算して「－」、以下同様。

お礼

ご回答有り難うございます。
なるほど、この方法だと、境界線を越えると確かに符号が変わるのがわかりました。とても分かり易い説明ですね。後半の疑問については解決出来ました＾＾

前半の隣接しない領域が求める領域になるというのは、なぜなのでしょうね？
可能であれば一般的な場合までご説明頂ければ助かります。