動摩擦係数の表し方

質問

次の図のような形の台車がある。まず、台車のタイヤは固定されている。

質量Mの質点を台車の頂上に置き、静かに手を離して滑らかな坂を転がらせる。
質点は坂の下から長さLのところまで転がり静止した。
ここで坂の最下点からながさLのところは摩擦力が働くとする。

この場合の摩擦係数μを上記の単位を用いて表せ。

という問題がありました。

まず、高さhから落として坂の終わりを高さ0とすると、滑らかな斜面なので力学的エネルギーが成立して

mgh = (1/2)mv^2

v=√２ｇｈ

という関係から
よくある V^2 － V'^0 = 2αl
をもちいて、
止まったのだから　0 ^2 － (√2gh)^2 = 2αL
から導けるのかなと思ったら躓きました。

どういう解法をすればいいのでしょうか。
摩擦力がある場所での式の立て方などがイマイチわかっていません。

ご指導お願い申し上げます。

まだ、設問2では台車のタイヤが滑ることを考えた時、台車と質点はどのような動きになるのか右方向への移動を正の値として、各式を用いて説明せよ。

というものがありました。これは考え方すらわかりませんでした。
ご指導お願い申し上げます

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

＞まず、高さhから落として坂の終わりを高さ0とすると、滑らかな斜面なので力学的エネルギーが成立して
＞
＞mgh = (1/2)mv^2
＞
＞v=√２ｇｈ　　　（１）

　ここまではよいようです。

＞よくある V^2 － V'^0 = 2αl
＞をもちいて、
＞止まったのだから　0 ^2 － (√2gh)^2 = 2αL

　これは、運動エネルギーの全部が、質点を摩擦力でLだけ移動させる仕事に変わった、ということです、考え方は正しいですね。仕事は、「力 × 距離」ですから。かかる力は、F=M*a なので

　　　(1/2)*M*V^2 = M*a*L　　（２）

　摩擦力は、μ*M*g ですから、F=m*a から

　　　 M*a = μ*M*g
　　∴　a = μ*g

従って、（１）（２）から

　　　g*h = μ*g*L
　　∴　μ = h/L

設問2は、「運動量保存則」を使います。ここでは速度がいろいろ変化することから「運動量保存則」は面倒なので、簡単に「質点と台車の重心位置は動かない」ということを使いましょう。（「質点と台車の重心位置は動かない」というのは、運動量保存の結果なのですが、納得できる条件だと思います）
　質点が右に動いた分、重心位置を一定にするために、台車が左に移動します。質点が静止すれば、台車も静止します。

　正確には、斜面を滑り降りているときにも、質点は斜面を水肥方向に押しているので、「斜面の幅D　+　L」に相当する分だけ、台車は動きます。

　質点が「D+L」動けば、重心位置を一定にするため、質量M0の台車は、質量の比に従って

　　　( D + L ) * M / ( M + M0 )　　（３）

だけ動きます。

　静止している地上から見れば、質点は

　　　( D + L ) * M0 / ( M + M0 )　　（４）

だけ動きます。

　台車上の座標系で、台車上から見た質点の移動量は、（３）の分まで（４）が動いたように見えるので、

　　( D + L ) * M / ( M + M0 ) + ( D + L ) * M0 / ( M + M0 )
　＝ D + L

となって、台車が静止しているとしたときの質点の移動量に一致します。

　「台車と質点の重心位置は動かない」というのがポイントです。

お礼

有無を言わさない求めていた解答解説すべてが網羅されているご回答でした。

本当にわかりやすい説明ありがとうございました。

そのまま運動エネルギー=仕事
という等式から導くのですね。
凄いすっきりしました。

また、条件の記載までも補足説明でくださったこと大変うれしく存じます。

つたない説明にもかかわらずこんなにもご親切にしてくださりましたことあらためてお礼申し上げます。今後ともよろしくお願い申し上げます。

回答No.1

shintaro-2

>0 ^2 － (√2gh)^2 = 2αL

その横方向の力が
まさに動摩擦なのですから
α=μmgです。

>まだ、設問2では台車のタイヤが滑ることを考えた時、台車と質点はどのような動きになるのか右方向への移動を正の値として、各式を用いて説明せよ。

今度は、μｍgでしばらくの間台車が押されて加速するということです。
運動量保存則で解くのでは？

お礼

ありがとうございます。