2000年 京都大学 第一問 (長いです)

質問

【問題】
図1のように、水平面と角度θをなす斜面をもった質量Ｍの台車が、水平な床面に敷設された直線のレール上を摩擦なしに滑らかに動けるように置かれている。
いま、時刻 t=0 に、台車の斜面の下端点Oから質量 m の小球が、斜面に沿って、大きさ v0 の初速度で動き出した。
このとき、台車の初速度はゼロで、小球の初速度の方向は斜面の下端線OO'から測った斜面内の仰角が α であった。
ここで、下端線OO'は床面に平衡でレールと垂直である。また、斜面は滑らかで、小球と斜面の間に摩擦はないとして、小球が動き出した後の小球および台車の運動を議論しよう。
ただし、斜面は十分に広く、小球は再び斜面の下端線OO'に戻ってくるまでは斜面から飛び出さず、また、台車の車輪は４つともレールから離れることはないと仮定する。
床面に固定された水平面内の直交座標のＸ，Ｙ軸、および台車に固定した斜面上の直交座標の x , y 軸をそれぞれ、図１に示したようにとる。ただし、Ｙ軸はレールに、Ｘ軸は x 軸に、それぞれ平行で、 x , y 軸の原点は下端点Ｏであり、 y 軸は斜面の最大傾斜の方向を向いている。また、重力加速度を g とする。

(１)
小球が斜面上を運動している間、台車は、床面から見てＹ方向に速度Ｖ、加速度Ａで運動している。台車から見た小球の速度の x , y 成分を vx ,vy 、加速度を ax , ay と記す。
まず、床面から見れば、小球の速度のＹ成分は、Ｖ、 vy 、θで表して[　イ　]となるから、小球と台車からなる系のＹ軸方向の運動量保存則は、[　ロ　]と書ける。
この保存則を表す式の時間変化率を考えれば、速度の時間変化率が加速度であることから、台車の加速度Ａと小球の加速との y 成分 ay との間に
Ａ＝[　ハ　]× ay
の比例関係が成り立っていることがわかる。

[解答]
[　イ　]　Ｖ＋vycosθ
[　ロ　]　mv0sinα・cosθ＝m(Ｖ＋vycoｓθ)＋ＭＶ
[　ハ　]　－(mcosθ)/(Ｍ＋m)

この問題の[　ハ　]がよく分かりません…
解説には

＞ロの式の時間変化率を考え、Ｖ、vy の時間変化率がＡ 、 ay であることを用いると
　０＝m(Ａ＋aycosθ)＋ＭＡ

と書かれていました
どなたか私に易しく教えて下さい、よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
一言で片づけてしまうと、
「 [ロ]の式の両辺を時間で微分している 」ということなのですが。

まず、[ロ]の式で定数であるもの。時間の関数であるもの。を見てみましょう。
・小球や台車の質量は変化しません。
・角度θも変化しませんし、αも初速度の方向だけで、その後は変化するものではありません。
・Vや vx、vy、ax、ayは時間に依存した（時間とともに変化する）変数になっています。

すると、[ロ]の式の左辺は時間に依存しない定数であることがわかります。
ここで「左辺を時間で微分すれば、ゼロになる」ことが言えます。

時刻 tのときの式と時刻 t+Δtのときの式を差し引くことで、
微分の定義式と同じ形を導くことができます。

どうでしょうか？＾＾；

お礼

さっそくの回答ありがとうございます

非常にわかりやすかったです！！

文字になるとどうも変数と定数の区別がつきにくくなってしまい…苦手みたいです
これからは冷静にその文字の意味を考えて問題にあたりたいと思います

すばやく丁寧なご回答、本当にありがとうございました。