熱力学の問題です

質問

可逆なヒートポンプについて以下の問題に答えよ
(1)このヒートポンプが低温熱源から受け取る熱量はいくらか
(2)高温熱源に捨てる熱量はいくらか
(3)必要な仕事はいくらか
(4)成績係数はいくらか
(5)成績係数の下限値はいくらか

(4)まででいいので早めに教えてくれるとありがたいです

回答No.1

jamf0421

答になっているかどうか分かりませんが...
このヒートポンプは1(T2, S1)→2(T1, S2)→3(T2, S3)と回りますね。
(1)Q１(1→2)は吸熱ですが、熱源はT2からT1の間の無限刻みの熱源のはずです。
Q2(2→3)も吸熱ですが、同様に熱源はT1からT2の間の無限刻みのはず熱源です。ここで低温熱源の意味が温度T1のことならT1からくみ上げるという形の熱はありません。

さて、かりにポリトロープ変化(PV^n=一定)の過程を想定します。
1→2での吸熱はCp/Cv=γ、温度がT2からT1(T2>T1)になることを考慮して
Q1={(n-γ)/(n-1)}Cv(T1-T2)...(i)
となります。温度は下がるものの1<ｎ<γならばQ1>0となり吸熱で、エントロピーがS1からS2に増大となります。吸熱のエネルギー増大より膨張で外部にする仕事が大きく温度が下がります。
2→3；これもポリトロープ変化で考えるなら
Q2={(n'-γ)/(n'-1)}Cv(T2-T1)...(ii)
となります。n'>γならば、Q2>0となり吸熱で、エントロピーがS2からS3に増大します。

(2)これは等温圧縮（ポリトロープ変化の一種ではあります。）と考えればよく、高温熱源に捨てる熱は
Q3=RT2ln(V1/V3)=RT2ln(P3/P1)...(iii)
です。あるいはS1-S3=Q3/T2ですから
Q3=T3(S1-S3)...(iv)
となります。

(3)必要な仕事をWとし、エネルギー保存則より
Q1+Q2+Q3+W=0
W=-(Q1+Q2+Q3)...(v)
となります。それぞれの値には正負を考えています。（エネルギーを貰う向きが正）

(4)成績係数εは高温側（例えば煖房での室内側）に捨てる熱を仕事で割ったものですから
ε=Q3/(-Q1-Q2-Q3)
です。