方向微分係数の説明が理解できません

質問

48歳の会社員です。裳華房の「基礎解析学コース　ベクトル解析」を使って
ベクトル解析を勉強しているのですが、22頁にある方向微分係数の説明がどう
しても理解できません。

　理解できない部分の画像を添付しましたが、(1)の式が(2)の式になる過程と
(2)の式の [ ]t=0 （鍵括弧と鍵括弧の外にある「t=0」）の意味が分かりません。

　(2)の [ ] （鍵括弧）の中の式は
d/dt φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)
= lim h→0 (φ(x + (t + h) * ux, y + (t + h) * uy, z + (t + h) * uz)
- φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)) / h

と考えたのですが、下の(1)の式にすることができません。
dφ/du = lim t→0 (φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz) - φ(x, y, z)) / t

　(1)の式を(2)の式にすることができれば、
X = x + t * ux, Y = y + t * uy, Z = z + t * uz
として、
φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)
を
φ(X, Y, Z)
に置き換え、
dφ/du = ∂φ/∂X * dX/dt + ∂φ/∂Y * dY/dt + ∂φ/∂Z * dZ/dt
= ∂φ/∂X * ux + ∂φ/∂Y * uy + ∂φ/∂Z * uz
= ∂φ/∂x * ux + ∂φ/∂y * uy + ∂φ/∂z * uz
と(3)の式にすると理解しているのですが、この流れで合っているでしょうか ?

　独学で勉強しており周りに聞ける人がいないため、ご教示いただければ幸いです。

回答No.4

nobuyuki0505 · ベストアンサー

#1です。念のため、#2の解説をより分かりやすく記述します。

まず、Φ(t)= φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)とおく。

Φ(0)=φ(x,y,z)

なので、(1)に代入して、

dφ/du =lim_(t→0) {Φ(t)-Φ(0)}/t

を得る。この式の左辺は微分の定義より、

Φ'(0)であるので、

dφ/du =Φ'(0)

ここで、
Φ'(0)を[Φ'(t)]_(t=0)
と表せば、(2)式を得る。

これが一番標準的な理解だと思います。

ポイントは、

微分の定義ではなく、微分係数の定義を用いてること、

微分係数をΦ'(0)ではなく、[Φ'(t)]_(t=0)で表していること、

などが挙げられます。

お礼

回答ありがとうございます。
解説がスッキリしていて分かり易かったです。

将来、物理を勉強したいと考えていて、そのために基礎となる数学をいま勉強しています。
工業高校しか出ておらず、周りには聞ける人もいないので、nobuyuki0505さんのように教えていただける人がいると本当に助かります。
ありがとうございます。

回答No.3

nobuyuki0505

後者の質問(2→3の式変形の解釈)についてです。

これは書かれている内容で正しいです。

少し蛇足を加えれば、
1の時点では方向微分の形しか使われていないが、
1→2の式変形をすることで、
方向微分と多変数関数の微分とを絡めることができ、
ゆえに合成関数の微分が使えている、ということです。

方向微分だけでは合成関数の微分は使えないので、
他変数関数の微分との関係を表す1→2の式変形が重要な位置を占めている、
ということは理解しておくべきことです。

以上で蛇足を終わります。

お礼

解説ありがとうございます。
(2)の式から(3)の式へはたぶん合っているだろうとは思いましたが、解説して頂けるまで確信が持てませんでした。
ありがとうございます。

回答No.2

nobuyuki0505

#1です。続き(1→2)を説明します。
>(2)の [ ] （鍵括弧）の中の式は
>d/dt φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)
>= lim h→0 (φ(x + (t + h) * ux, y + (t + h) * uy, z + (t + h) * uz)
>- φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)) / h

この式は解釈として正しいです。(この式を便宜的に(☆)と表します。)

>と考えたのですが、下の(1)の式にすることができません。
>dφ/du = lim t→0 (φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz) - φ(x, y, z)) / t

ここは定義通りに行えば可能です。

詳しく説明します。
(☆)について、最終的にtには0を代入することとなります。([]_(t=0)が付いているため。)
本来は、微分→t=0代入、とすべきですが、
今回はhを登場させたことにより、
微分→t=0代入、と、
t=0代入→微分、とは(☆)において、等しい意味を持ちます。

これが理解できれば簡単で、
t=0を代入した上で、微分(というか極限計算？)をすれば、
dφ/duを得ます。(つまり、(2)の右辺から左辺を導けた。)

なお、上は質問者様の計算の方法に合わせた形であり、
本来は微分係数の定義を使って表せばもっとスムーズに事が進みます。

(0における)微分係数の定義は、
Φ'(0)=lim_(t→0){Φ(t)-Φ(0)}/t
であり、

Φ'(0)を[Φ'(t)]_(t=0)と表すことも説明しました。

ゆえに、
Φ(t)=φ(x + t * ux, y + t * uy, z + t * uz)
とおけば、
Φ(0)=φ(x,y,z)
であり、
微分係数の定義の式
Φ'(0)=lim_(t→0){Φ(t)-Φ(0)}/t
に当てはめれば、
綺麗に方向微分の定義と合致することが分かると思います。

お礼

遅い時間にも関わらず、丁寧に説明して頂きありがとうございます。
実は質問した部分がどうしても分からず、2週間ぐらい悩んでいました。
[ ]t=0
の意味を説明していただいて、やっと理解することができました。

回答No.1

nobuyuki0505

まず前者の質問(1→2)について。

[]_(t=0)の意味で悩んでるとのことなので、これについて説明します。

まず、通常の1変数の微分についてです。
Φ'(0)
と書くと、実は2通りの解釈が可能です。
1つ目は、
y=Φ(t)を微分してからt=0を代入する、
という通常の解釈の仕方。

2つ目は、
y=Φ(t)にt=0を代入してからそれを微分する、
という解釈の仕方。

もちろん、2つ目は全ての関数を0としてしまう、無価値な解釈なので、
当然1つ目の解釈を常に用いるのが慣例です。

しかし、これを明示的に式で表せば、
Φ'(0)=[Φ'(t)]_(t=0)
と書き、微分→代入、の順番を強調することができます。

この記法の方が応用する場合に都合が良いのです。

ということで、
>(2)の式の [ ]t=0 （鍵括弧と鍵括弧の外にある「t=0」）の意味が分かりません。

の答えは、微分してから代入をする、という順番を強調してる書き方となります。

続きは、書き出すと長くなりそうなので、分けて説明します。
また近いうちに続きを書かせていただきます。

お礼

[ ]t=0 について説明していただき、ありがとうございます。
持っているどの数学の本にも説明を見つけることができず、ネットでも見つけられずに困っていました。

あと、誤って「そう思う !」と違うボタンをクリックしてしまい、申し訳ございません。