素数の生成式って結局あるんですか？

質問

よく素数を作る方程式はない、とか聞きますけど、たまに「式自体は沢山あるけど実用的でない」のような180度違う話も聞きます。結局どっちなんですか？？
数学にそれなりに詳しい人だけ回答お願いします。
わからないけど～じゃないですか、みたいな回答はご遠慮願います。

回答No.4

yoshik-y

「式自体は沢山あるけど実用的でない」が正解ですね。

ｎ番目の素数を示す式は、以下の3種類あります。

(1) Wilsonの定理などを使って漸化式で表す。
例えばp(n)=1+Σ【m=1,2^n】[[n/(1+{-1+Σ【k=1,m】([(((k-1)!+1)/k)-[(k-1)!/k]])})]^(1/m)]
これは、実際には素数が出てくるまで１ずつ足していく、というものに過ぎません。
(素数の場合に成り立つ定理を利用し、その定理を満たすまで１ずつ足して探していく)

(2)素数を含む小数を利用する
a=∑（ｐ(n)/10^2n）=０．０２０３０００５０００００００７…から
ｐ(n)＝[a*10^2n]-10^(2n-1)[a*10^(2n-1)]
これは、素数表を頭から取っていくだけのもので、aを求める別の簡単な方法がないと意味がありません。

(3) (1),(2)のような方法ではなく、もっと簡単な式p(n)=f(n)
これがおそらく「素数を作る方程式」でまともなものだと思いますが、f(n)が簡単な多項式にはなり得ないことが証明されています。多項式でなく何らかの簡単な式はいまだ見つかっていません。これが「素数を作る方程式はない」という意味です。

回答No.3

lx002PH

訂正

与えられた自然数より大きい素数
↓
与えられた自然数より大きい「最小の」素数

回答No.2

lx002PH

n番目の素数の式みたいなものでよければ半世紀以上前からいくつも見つかっていますし、理屈さえ理解すれば、大学生向けの本の演習問題にもなってるくらい簡単に作れます。
このような式でn番目の素数をコンピュータに計算させると、10番目くらいまでならすぐに求まりますが、100番目を求めるには宇宙の寿命では足りないくらいの計算量になるため、実用性はまったくありません。
他にも与えられた自然数より大きい素数を求める式もあります。同様に実用性はゼロです。

回答No.1

Key_A

元塾講師です。大学の初等数学で挫折した半端モノですｗ

表題は「素数に規則性はあるのか」という認識で話を進めます。
ググってみると「ウィルソンの定理」というのが見つかりました。
30秒ぐらいでｗ

http://riemanyosou.com/sosuu/entry2.html
http://oto-suu.seesaa.net/article/291353426.html

まだ、現状ではこの定理段階であり、単体の文字式としては
未だに見いだされていない。っていうか、できたら発見者の
名前が永遠に数学史に残るでしょうｗｗ　まさにロマンやね。

他人の発見した定理を順番に学ぶだけでもなかなか難しいのに、
新たな定理を発見できるのはまさに天才か狂人ではないかと
改めて思わされました。（最高の褒め言葉ですｗ