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文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか？
- 私が使っている数学の参考書には「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」という旨の文章が載っています。
- しかし、2つの2次方程式が単純に足したりひいたりできるのかについては理解が難しいです。
- 文字が異なる方程式同士では連立方程式のように扱えず、単純な足し算や引き算はできない可能性があります。
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質問者が選んだベストアンサー
連立方程式を加減法で解く際に、2つの式を縦に並べて足し算(または引き算)しますよね？ それが「2つの方程式を足したり引いたりする」ということです。 ですから、文字が1種類の方程式同士を足したり引いたりすることももちろんできます。 ただし、【連立方程式であることが条件】です。 質問者さんの言葉を使うならば、 「2つの式の文字がどちらも一定であるという前提」が成り立っている必要がある、ということです。 (1)と(2)が連立方程式である場合は、「(1)のxも(2)のxも同じ」はずです。 この場合は足したり引いたりすることは可能です。(解があるかどうかは別として) しかし、(1)と(2)が連立方程式でない場合は、(1)のxと(2)のxは別物ですから、 足したり引いたりすることはできません。
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- alice_44
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＞ 連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。 ＞ でもこの場合は x がそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは 連立方程式というのは、各式の同じ未知数に同じ値が入る式の組のこと ですから、x は同じ値であって、「それぞれまったく別の数字」ではありません。 x が同じ値だから、式を足し算引き算することが可能なのです。 正確には、方程式を足し算引き算するのではなく、 方程式の左辺同士右辺同士を足し算引き算するのですがね。 f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) のとき f(x)+g(x)=a(x)+b(x) も f(x)-g(x)=a(x)-b(x) も どちらも成り立ちます。 ただし、f(x)+g(x)=a(x)+b(x) だけから f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) を導くことはできないので、 ( f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) ) ⇒ f(x)+g(x)=a(x)+b(x) の ⇒ は一方通行であって、f(x)+g(x)=a(x)+b(x) の解が全て f(x)=a(x) かつ g(x)=b(x) の解だとは限りません。 ＞ ２種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない は、そのことを言っているのでしょう。 ＞ 方程式を足したり引いたりしてできる方程式の解以外は、元の連立方程式の解にはならないが、 ＞ 足したり引いたりしてできた方程式の解が、全て元の方程式の解であるとは限らない。 とでも言ったほうが正確でしょうか。
お礼
実際に条件に合う方程式を作って確かめてみたところ、あなたの回答に適合する結果が得られました。 回答ナンバー２の方の回答を合わせて読み理解が深まりました。 ありがとうございました。
- at9_am
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> 文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか？ おそらく 2x^2-1=0…(1) x^2-4=0…(2) を足して 3x^2 - 5 = 0…(3) を考えたい、ということだと思いますが、そのようなことは(1)(2)を解く上では意味がありません。 共通解があると仮定すれば、共通解kは 2k^2-1=0 k^2-4=0 を同時に満たすはずであり、更にこの場合には 3k^2 - 5 = 0 も満たします。しかし共通解が存在しなければ成り立ちませんし、(3)のもう一つの解は共通解が存在するとしても(1)(2)の解とは偶然以外では一致しません。 (3)の解は、 2x^2-1=α…(1)' x^2-4=-α…(2)' になります。このαがどのような数になるかは式次第ですが、(3)の解の一つが(1)(2)と共通の解となる場合には、α＝０となります。
お礼
おっしゃる通り共通解の問題のページに載っていた文章です。 他の方の回答と合わせて読み、理解が深まりました。 ありがとうございました。
お礼
胸のもやが晴れました。 私が気になっていたことに分かりやすく迫った回答です。 ありがとうございました。