行列の固有値とスツルム列について

質問

行列Aの固有値を求める際に，2分法という手段があることを学びました．
その際，Aを三重対角化した行列A'に対してxI-A'のk次首座小行列式pk(x)を考えると，
pn(x),...,p1(x),p0(x)(p0(x)=1)
はスツルム列になるそうです．
スツルム列の符号が反転する回数をw(x)としたとき，区間[a,b]に含まれるpn(x)の実根の個数が，
w(a)-w(b)
になることの証明は見つかりました．
しかし，
「cより大きい固有値の個数はw(c)である」
ことの証明が見つかりません．
ゲルシュゴリンの定理より求まる固有値の存在範囲R(>0)を用いて
w(-R) - w(R) = n
などとしてみましたが，求まりませんでした．

「cより大きい固有値の個数はw(c)である」
の証明をご存知の方がいらっしゃれば，ご回答よろしくお願いします．

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

（p_n(c) = 0の時は考えないことにする。また、Aは実対称としておきます）

ヒント
（p_n(x)がA（A')の固有多項式なのはいいですよね）
要はp_n(d)≠0, c<dの時 (c, d)に含まれる固有値の個数はw(c) - w(d) なのだから、ある「適当に大きいd」があって、
* w(d) = 0
* d<xでp_n(x) ( = det(xI - A') )は解を持たない
となればよいのですが、それこそ「適当に大きいd」を取ればそうなるのはほぼ明らかでは？

w(d) = 0というのは、要はStrum列で隣合うp_j(d)同士で符号が変わらなければよい訳ですが、例えばp_j(d)（たち）が全て正だったらいいわけです。ところでp_j(x)（たち）の最高次の係数は何ですか？

d<xでp_n(x)は解を持たない、というのも、同様にp_n(x)はn次式なんだからdが充分大きければよいのは分かるはず。

お礼

ありがとうございます．
漸化式より最高次の係数はすべて1ですね．
解決しました．
また機会があればよろしくお願いします．