レイリー商について

質問

線形代数について質問させてください。

R^n\{0}→Rの関数f_A(x)をn次の実対称行列Aを用いて、
f_A(x)：x→<Ax,x>/<x,x>
で定める。（xはn次縦ベクトルで、<,>は標準的な内積とする。）
また、S^(n-1)={x∈R^n|<x,x>=1}とする。
このとき、像f_A(R^n\{0})とf_A(S^(n-1))が一致することを示したいのですが、
どのようにすればよいのかわかりません。
（f_A(R^n\{0})⊂f_A(S^(n-1))の示し方について）
具体的な方法を教えていただけないでしょうか

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

正規化すれば一発です．

x ≠ 0 に対して λ = ||x|| > 0, y = x/λ ∈ S^{n - 1} とおけば
f_A(x) = <Ax, x>/<x, x> = <Ay, y>/<y, y> = <Ay, y>
で終わりです．

お礼

回答ありがとうございます。
解決することができました！