【数学】取り尽くし法に関して

質問

取り尽くし法について、比較的分かりやすく説明がなされている書籍等を知っていましたら教えていただけたらと思います。特に、円の面積に関しての記述があると良いです。ウェブページや動画等でもかまいません。
よろしくお願いいたします。

（ちなみに、「比較的分かりやすく」というのは、文章が分かりやすくという意味で、表面だけをなぞったような簡単な解説という意味ではありません。）

回答No.1

178-tall

参考 URL などが「取り尽くし法で円の面積」の一例かナ。

アルキメデスが実際に使った算式は知りませんけど、sin(x) = 1 から x=π/2 を求めるパターンは、sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積、
　∞
　Π cos(x/2^k) = sin(x)/x　　　…(1)
　k=1
などが典型的。

sin の倍角算式を逆行していくと…
　sin(x)
　= 2 sin(x/2)cos(x/2)
　= 2^2 sin(x/2^2)cos(x/2)cos(x/2^2)
　　…
　= 2^n sin(x/2^n)Πcos(x/2^k)　　　…(2)
になる。
ここで、
　2^n sin(x/2^n) = x*sin(x/2^n)/(x/2^n) → x (n → ∞)
だから、(2) の右辺は → xΠcos(x/2^k) (n → ∞)
i.e.　sin(x) = xΠcos(x/2^k)　// Q.E.D
(つまり、n → ∞ のとき、sin(x/2^n) → x/2^n なので、2^n sin(x/2^n) → x )

(1) を使えば、与えられた sin(x) = 1 になる x/2 (= π/2) を勘定することができます。
左辺にて、∞ までは行けないので、有効桁内で cos(x/2^k) が 1 に達したところで打ち切り。
そのときの右辺の sin(x) へ「弦長」を入れれば、x すなわち「弧度」が得られるわけ。

スプレッドシートの勘定例…。
　　　　　　　↓

n　　2^k　　 cos(x/2^k)　　　Π
--　　--　　　-----　　　 -----
1　　　 2　　　0.7071　　　0.7071
2　　　 4　　　0.9239　　　0.6533
3　　　 8　　　0.9808　　　0.6407
4　　　16　　　0.9952　　　0.6376
5　　　32　　　0.9988　　　0.6369
6　　　64　　　0.9997　　　0.6367
7　　　128　　 0.9999　　　0.6366
8　　　256　　 1.0000　　　0.6366

　　　　　　　　　　　　1/Π = 1.57080

参考URL：

http://harisonx.seesaa.net/article/206504961.html