重積分

質問

画像の1行目から2行目はどうやって積分すればいいのですか?　ルートの積分がよくわかりません。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

I=∫[0,2π]{∫[0,a]r√(1+4r^2) dr}dθ, a≧0
1+4r^2=tとおくと
r:0→aのとき t:1→1+4a^2
8rdr=dt
であるから
I=∫[0,2π]{∫[0,a] (1+4r^2)^(1/2) rdr}dθ, a≧0
=∫[0,2π]{∫[1,1+4a^2] t^(1/2) (1/8)dt}dθ
=∫[0,2π]{(1/8)[ (2/3)t^(3/2)][1,1+4a^2]}dθ
=∫[0,2π]{[(1/12)t^(3/2)][1,1+4a^2]}dθ ...(A)
本来変数tをrに戻す必要はないけど、質問者さんの要望なので
２行目の式と比較するため tをrに戻すと
=∫[0,2π]{[(1/12)√((1+4r^2)^3)][0,a]}dθ
となって２行目の式に一致します。

なお(A)から計算を進めると
=(1/12)∫[0,2π]{(1+4a^2)^(3/2)-1}dθ
=(π/6){(1+4a^2)^(3/2)-1}
となります。