二重積分

質問

二重積分：

2π　2
∫∫(4-r^2)[√(4r^2+1)]r drdθ
0　0

の計算について、答えは(289π/60)√(17) - 41π/60
となっていたのですが、
内側のrの積分について、
どのように計算すればいいのかわかりませんでした。

とき方がわかる方がいたら、教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

2π　2
∫∫(4-r^2)[√(4r^2+1)]r drdθ
0　0
rとθの積分は分離でき、θについての積分は１の積分で
2πとなるから、積分はrについての積分になる。

4r^2=uと変数変換, 8rdr=duより

I=(2π/8)∫[0~16]・{4-(u/4)}√(u+1)du

更に、u+1=t^2と変数変換, du=2tdtより

I=(π/4)∫[1~√17]・[4-{(t^2)-1}/4](2t^2)dt
=(π/8)∫[1~√17]・{17(t^2)-(t^4)}dt
=(π/8)[1~√17]・{(17/3)t^3-(1/5)t^5]・[1~√17]
=(π/8)[(17/3)(17√17)-{(17^2)(√17)/5}-(17/3)+1/5]
=(π/8)[289(√17){(1/3)-(1/5)}-{(17/3)-(1/5)}]
=(π/8){289(√17)(2/15)-(82/15)}
=(π/60){289(√17)-41}

お礼

解答ありがとうございます！

２段階に分けて置換するやり方は、
とてもわかりやすかったです。

ありがとうございます

回答No.1

hwangil

√(ax^2+bx+c)となっているときは、
t-√(a)x=√(ax^2+bx+c)
で解ける場合があります。なのでこの場合
t-2r=√(4r^2+1)
と置くと、上手く解けるのでやってみてください。

お礼

貴重なヒントありがとうございます。
参考になりました！