高校数学の質問

質問

命題の証明について教えてください。

（1）ｎを３で割った余りが1ならば、ｎ＾2を3で割った余りは1であることを証明せよ。

（2）ｎが３の倍数であることは、ｎ＾2が３の倍数であるための必要十分条件であることを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

mshr1962 · ベストアンサー

(1)
n=x+1 とすると xは3の倍数になる。

n^2=(x+1)^2=x^2+2x+1

ここでx^2+2xは3の倍数なので、n^2を3で割った余りは1になる。

（2）
nが3の倍数として
(n-1)^2=n^2-2n+1 で3で割ると余り1
(n+1)^2=n^2+2n+1 で3で割ると余り1
つまり3の倍数でない数値の二乗は、常に3の倍数+1となるので
ｎ＾2が３の倍数であるためには、nが3の倍数であることが必要十分条件になる。