命題と論証の質問です（高校１年）

質問

命題と論証より（高校１年です）
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自然数ｎに対して、「ｐ：ｎは３の倍数である」と「ｑ：ｎ^2は３の倍数である」は同値である事を証明せよ。
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この問題でｐならばｑはわかりますが、ｑならばｐであることの証明はどうすればよいのでしょうか？
よろしくアドバイスおねがいします。

回答No.4

postro · ベストアンサー

「ｑならばｐであることの証明」
方法は複数あるでしょうけど、せっかくだから、対偶を考えてみると、
（もとの命題の真偽と対偶の真偽は一致することを使います）
この場合待遇命題は
ｐでないならｑでない。すなわち、
「ｎが３の倍数でないなら、ｎ^2は３の倍数でない」
ですから、これを証明すればよいことになります。
n=3k±1　とおくなどすれば、この証明はそう難しくないでしょう。

お礼

対偶の真偽と一致する…いちばん簡単に証明できて納得できました。有難うございます。

回答No.3

misosento

「n^2」は「nの２乗」という解釈でよいですか？？

その仮定の下で話を進めますね。

n^2=3m（mは自然数）とすると
n=√3m・・・(1)
ｎは自然数なので、ルートの中身を考えると・・・
m=3a　（aはある自然数の２乗）となります。
これを(1)に代入すれば、、、

と、とりあえずここまで！
論証では導きたい結論がわかっているので、
丁寧に条件を設定して展開していくのがポイントです☆

私も何年も前にやったことなので細かい漏れがあるかもしれませんが；
がんばってくださいね～!!

お礼

「ある自然数の２乗」という部分が理解しづらくて…勉強します。有難うございます。

回答No.2

stripe-k

n^2=3*m(mは自然数)
n=√3*m=√3*√m
n,mは自然数であり、√3は無理数
m=3L(Lは自然数)かつk=√L（kは自然数）
よってL=k^2
n^2=(√3*√3L)^2=(√3*√3*(k^2))^2=3^2*k^2
n>0だから
n=3*k つまりnは3の倍数

回答No.1

10ken16

背理法が無難でしょう。
示したいこと：nは３を因数として持つ
前提条件：n^2は３を因数に持つ

そこで、nが３を因数に持たないと仮定すると…
分かりにくければ、n=3m+1、n=3m-1とおいたら、
n^2は3を因数に持つでしょうか？

お礼

背理法って何だか理屈っぽい感じで苦手でしたが、「無難」という部分に納得できました。有難うございます。