この写真の問題なんですけど、純粋に分からないです

質問

この写真の問題なんですけど、純粋に分からないです

例えばaが決まればk,tは決まるはずなので、kやtはaの関数で表せるはずだと思い、交点のy座標が等しいことと、共通接線を持つことから2つの等式が得られ、sinat,cosatが表せるので、そこからtanatを求めてみました。体積自体はバームクーヘンを使って求積しましたが手詰まりです。

ご教授お願いします！
具体的な解答をご提示していただけると嬉しいです……

回答No.13

tmpname · ベストアンサー

ちょっと予め書いておく

Vについてはさっきも書きましたが微妙に違うのでもう一度。
その上で、

＊a→∞で、tan(at)→0なので、
で、0<at<π/2 (何故なら0<t<π/(2a)）だから、t→0。
＊でe^t=kcos(at)だから、k=(e^t)/cos(at)なので、k→1

そこで、まずVの式に現れるat・tan(at) /(a^2)という部分は、
at・tan(at) /(a^2)
= (t^2) * (at) * tan(at) / ((at)^2)
= (t^2) * [tan(at) / (at)]
= (t^2) * [sin(at)/ (at)] / cos(at)
としておくと、at→0から[sin(at)/ (at)] の極限は求まる。cos(at)の極限もいい。そして残りのt^2の所は、最終的にV/t^2の極限を求めるから消える。

残りのVの部分は、（もう一回計算し直した後で）、lim_(s→0) [(cos(s) - 1) / (s^2)]に似た形に持ち込む。lim_(s→0) [(cos(s) - 1) / (s^2)]の極限自体は半角の公式を使えば出来ますよね？

お礼

すみません、補足についてですけど、解決しました

はさみうちですね！

補足

Vは計算し直しました

＊a→∞で、tan(at)→0なので、
で、0<at<π/2 (何故なら0<t<π/(2a)）だから、t→0。

についてですが、
tan(at)→0
から
at→0
になるのは分かるのですが、そこからt→0に至るのがわからないです
a→∞で
なぜt→0になるのでしょうか？(不定形てきな？)

返事がおそくなってごめんなさい

回答No.3

Mathmi

まだ解法が分からないので正しいかどうか分かりませんが。

x=tで「接する」んですか？　「交わる」んじゃなくて？
もし接するのなら、グラフy=e^(-x)にtが係らない以上、kもaもtも一通りに定まらないですか？

補足

x=tで接するという条件です

aが決まれば三角関数の横長さが決まるので、kをその値に合わせて適切にとれば、tも定まります
なので、a,t,kは一通りには決まらず、tやkはaの関数になるはずです

回答No.2

tmpname

ヒント
> そこからtanatを求めてみました。
取り敢えず確認のためその値を（aの式で書けるはず）。

その後で
1) lim_(a→∞) tの値を求める（求まるはず。求まらなかったら何か間違ってる）。わからなかったら先ずlim_(a→∞) atの値を考える
2) 取り敢えずまず問題の部分を0≦y≦e^(-t)の部分（長方形）とそれ以外に分割して、まず長方形の部分を回転させたものの体積を評価する
3)残りの部分は、回転させてもどうせ(0,1)の所が頂点となる円錐よりも小さいとして、適当に評価する（上から抑え込む）

回答No.1

spring135

y軸の周りに回すので良いの？もしそうなら[arccos(y/k)]^2の積分が必要になるが？

補足

バームクーヘン積分を使いました……