急いでいます！運動量保存（非相対論で）

質問

ミューオンの基本的な崩壊は３体崩壊で、静止しているミューオンが崩壊すると、ミューオン、電子、ミューオンニュートリノ、電子ニュートリノができ、これの質量をそれぞれ、ｍ1、ｍ2、ｍ3、ｍ4とおく。このとき
電子の最大運動エネルギーは
Ｅ＝〔（ｍ1ーｍ2）＾2－（ｍ3＋ｍ4）＾2〕ｃ＾2/2ｍ1
これを示す問題で、ｒｙｎ様から回答していただき下のようなヒントを受けましたが、いくら考えてもわかりませんでした。
ヒント＞この運動エネルギーは非相対論の近似です．
　√( (mc^2)^2 + (pc)^2 ) - mc^2
を使わなければなりません

電子の飛び出した方向を水平面とおいて、そこからミューオンニュートリノと電子ニュートリノの飛び出した角度をそれぞれθ1、θ2とおいて運動量保存かなと思いやってみましたが、わかりません。だれかたすけてください。。。

回答No.1

ryn · ベストアンサー

運動量保存ですが，少し今の状況を考えなければいけません．
どういうときに電子が最大の運動エネルギーを持つかというと
「電子の飛び出した方向と逆方向に２つのニュートリノが飛び出す」
といった場合です．

つまり，tess さんのおっしゃる θ1,θ2 はπとなります．
（電子の飛び出した方向からθ1,θ2をとってるとしました）

また，崩壊は
　μ → ν_μ + Ｗ　　…(1)
のようにいったんウィークボソンを出してから
　Ｗ → ν_e + e　　…(2)
と崩壊します．
(1)のときの運動量保存を考えると
　0 = p3 + p_W
となります．
２体崩壊なので p3 と p_W は大きさが同じで逆向きです．
次に(2)の運動量保存がウィークボソンＷの静止系でみると
(1)と同様 back to back に崩壊します．
これらのことから
　p3 = p4 = p2/2
であることがわかります．

簡単のために自然単位系(c=1)を用いると，
エネルギー保存は
　m1 = √(m2^2 + p2^2) + √(m3^2 + p3^2) + √(m4^2 + p4^2)
とかけます．
あとは，電子の最大運動エネルギーＴが
　T = √(m2^2 + p2^2 ) - m2
であることを使ってひたすら計算です．
本当は (m2)^2 と書いたほうがよさそうですが
見づらくなったので m2^2 としています．

　　m1 = T + m2 + √(m3^2 + (1/4)p2^2) + √(m4^2 + (1/4)p2^2)
　⇔ m1 - m2 - T - √(m3^2 + (1/4)p2^2) = √(m4^2 + (1/4)p2^2)
両辺２乗して
　　(m1 - m2 - T)^2 - 2(m1 - m2 - T)√(m3^2 + (1/4)p2^2) + m3^2 = m4^2
　⇔(m1 - m2 - T)^2 + m3^2 - m4^2 = 2(m1 - m2 - T)√(m3^2 + (1/4)p2^2)
m1-m2-T ≠ 0 に注意して
　⇔(m1 - m2 - T) + (m3^2 - m4^2)/(m1 - m2 - T) = 2)√(m3^2 + (1/4)p2^2)
再び両辺２乗して
　　(m1 - m2 - T)^2 + {(m3^2 - m4^2)/(m1 - m2 - T)}^2 + 2(m3^2 - m4^2) = 4m3^2 + p2^2
　⇔(m1 - m2 - T)^2 + {(m3^2 - m4^2)/(m1 - m2 - T)}^2 + 2(m3^2 - m4^2) = 4m3^2 + T^2 + 2Tm2
　⇔(m1 - m2)^2 - 2Tm1 + {(m3^2 - m4^2)/(m1 - m2 - T)}^2 - 2(m3^2 + m4^2) = 0

ここで，ニュートリノの質量が小さいことから
　{(m3^2 - m4^2)/(m1 - m2 - T)}^2
の項を無視すると
　　(m1 - m2)^2 - 2Tm1 - 2(m3^2 + m4^2) = 0
　⇔ T = { (m1 - m2)^2 - 2(m3^2 + m4^2) } / (2m1)
となります．
m の横には常に c^2 がつくことを考えれば元の単位系にはすぐ戻せます．

近似の順序が少し違ったのか
tess さんの示されたものとは異なる結果になっていますが，
m1,m2 などから見ると m3,m4 の大きさは同程度なので
　(m3 + m4)^2
と
　2(m3^2 + m4^2)
は同程度になります．

どの段階で近似したら質問文の結果が出るんでしょう…
確かめてないので上記回答はご参考までに．

お礼

本当にありがとうございました。大変参考になりました。ぜんぜんわかっていないことに気づいたのでしっかり勉強しようと思います。お忙しいところ本当にありがとうございました。