なんでｘ＾２＝aは１＝１と変わらないのに

質問

両辺を1/2乗するとaが±aと変化するんですか？
この等式の概念がしっくりきませんが、方程式の「＝」と定数項の「＝」は違うという事ですか？

回答No.1

FEX2053 · ベストアンサー

そりゃ

a=b^2
a=(-b)^2

の両方が成立するからなんじゃ？

2乗すると右辺の「マイナス」が消えちゃうから、右辺には明示的に
±を付けないと「マイナス側」の可能性が無視されちゃいますよ。

お礼

ありがとうございます(*^_^*)
ああ、そういう事ですか＞＜
そう考えても実際若干＝の定義が乱れてますね。
高校数学は深める程美しくなく（概念的に）なっていきますね＞＜
大学以上の数学もきっとそうなんでしょうね・・。

回答No.5

Mathmi

1=1の両辺を1/2乗すると
±√(1)=±√1
⇒±1＝±1
と、「＋1＝＋1」「－1＝－1」の二つの恒等式が導かれます。

同様にx^2=aの両辺を1/2乗すると
√(x^2)=±√a
⇒x＝±√a
と、「x＝＋√a」「x＝－√a」の二つの恒等式が導かれます。

なぜxの前に＋や－の符号が付かないかというと、xは正負どちらの値も取り得る変数だからです。
xの中身は＋1の場合もありますし、－1の場合もあります。
対して定数aは、既に定まった値です。その値が分からなくとも、問題の途中で変化したり、複数の値が当てはまったりはしません。故に、複数の値が導き得る場合は、±などで区別する必要があるのです。

方程式と定数項の違いというか、定数と変数の性質の違いの問題だと思います。

お礼

ありがとうございます(^^♪
返信遅れました。
そうなんですね＞＜
「文脈を読む」というのも高校数学にて必要のようです（証明問題とかで「題意が示された」とかありますし。）。

回答No.4

kittensillabub

>> 両辺を1/2乗するとaが±aと変化するんですか？

両辺を1/2乗すると、右辺に±の記号が現れるか？ということだと思いますが、
x^2 = a の両辺を 1/2乗しても、右辺に -√a なんて値は出てきません。
右辺は√aにしかならないです。

x^2 = a 満たす xは x = ±√a になります。
これは決して、両辺を 1/2乗しているのではないです。

お礼

ありがとうございます(^^♪
返信遅れました。
そうなんですね＞＜

回答No.3

info222_

>両辺を1/2乗するとaが±aと変化するんですか？
意味不明です。
x^2=a
は特定のaとxに対してしか成り立たない方程式です。つまり、
a<0のとき x^2≧0なので　実数解なし（式は成り立たない）。
a=0のとき 解は x=0 (x=a=0のときのみ方程式は成り立つ)
a>0のとき　x=±√a
これを方程式の左辺に代入すると x^2=(±√a)^2=(±1)^2・(√a)^2=a
なので方程式を満たすこと、すなわち「x=±√a」が方程式の解と言えます。

お礼

ありがとうございます(^^♪
返信遅れました。
そうなんですね＞＜
文脈を読むというのも高校数学にて必要のようです（証明問題とかで「題意が示された」とかありますし。）。

回答No.2

noname#212313

具体例として、x^2=x・x=1（「・」は「×」と同じ、xと見間違わないｔめ使いました）を考えてみましょう。

　x=1は1・1=1で成り立ちます。x=-1はどうかといえば、(-1)・(-1)=1ですから成り立ちます。x^2=1はx=±1という二つの値で成り立つということですね。

　マイナスとマイナスを掛ければプラスになるので、このように一つの式に二つの値が答となってしまうわけです。

　x^2=x・x=1の1をaと書き換えれば、x^2=aで、これもxのプラスとマイナスの二つの値が答となります。具体的には、x=±√aとなります。√a・√a=aですし、(-√a)・(-√a)=です。

　さらに、x=±√aは略した書き方で、±√aという一つの値があるわけではありません。「x=√aまたはx=-√a」ということです。略す書き方は便利ですが、説明抜きに書いてしまうのは、混乱を招く原因かもしれません。（しかし今そのことをあれこれ言ってもどうしようもないので）今後は「±」とあったら「プラスとマイナスの二つの式になる」と思ってください。

　その他に、x=√a,-√aとカンマなどで区切って並べて書くこともあります。これも「x=√aまたはx=-√a」を略した書き方です。

>方程式の「＝」と定数項の「＝」は違うという事ですか？

　数学としては違いません。=の両辺の値が同じだという意味しかありません。しかし、学校で習う算数～数学の「=」はちょっと約束事があったりします。例えば、1+2=3と書きますが、1+2=2+1と書くことはほとんどありません。

　片一方に式があり、もう一方にたった一つの数字の答を書くということですね。「=」の両辺の値が等しくないと間違いになります。それは変数の入った式でも同じです。

　しかし、繰り返しになりますが、変数が入った式になると、今回のように答がいくつも出てくることがあります。そのとき、お示しのような略した書き方をすることがあります。「=」が違うのではなく、いくつも式を書くのが大変なので、略した書き方をすることがあるということです。

お礼

ありがとうございます(^^♪
きちんと理解しておきます＞＜

＞>方程式の「＝」と定数項の「＝」は違うという事ですか？
数学としては違いません。=の両辺の値が同じだという意味しかありません。
そうなんですね＞＜