効用の最適化問題について

質問

ある人の効用はテストの得点Xと遊びに当てる時間Y時間に依存してX＾３/４Y＾１/４で与えられるとする。一日24時間のうち16時間を遊びか勉学に当てる事ができ、T時間学習した場合彼は２０+５T点をテストで取れるものとする。何時間を学習に当てるのが彼にとって最も最適な選択か。

という問題なのですが、ラグランジュ乗数法で解こうとしたものの最初の条件式の片方の組み立て方がいまいち分からず進めずにいます・・。
初歩的なものかもしれませんが解説して頂けると嬉しいです。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

制約をきちんと定式化すればよい。題意より
(*)　　T+Y = 16

また、
　　　X = 20 + 5T

だから、効用Uは

　　U= X^(3/4)・Y^(1/4) = (20+5T)^(3/4)・Y^(1/4)

と表せるから、Uを(*)の制約のもとで最大化すればよい。ラグランジェアン関数は

（**)　　L = (20+5T)^(3/4)・Y^(1/4) + λ(16 - T- Y)

となる。ただし、λは制約(*)へのラグランジ乗数。あとは、LをTとYとλで偏微分して０とおけばよい。

なお、偏微分するのを知らないなら、Uの式の右辺にT=16-Yを代入して、Tを消去して

　　　　U = (100-5Y)^(1/4)・Y^(1/4)

を得る。右辺はYだけの関数だから、Yについて微分して０と置けばUを最大化するYが求められる。あとは自分で解いてください！（解けたら、「補足」の欄にあなたの答えを報告してください。合っているかチェックしてみますよ。）

補足

丁寧な解説をしていただきありがとうございました。計算してみたところ、Y=11時間と出てきました。

回答No.2

statecollege

回答１ですが、一番下の式は

　　　U = (100-5Y)^(3/4) ・Y^(1/4)

でしたね！これをYについて微分して０とおくと

　　　 0 = dU/dY = (3/4)(100-5Y)^(-1/4)・（-5)Y^(1/4)　＋　(100-5Y)^(3/4)・(1/4)Y^(-3/4)

整理すると、

　　　　(15/4)(100-5Y)^(-1/4)・Y^(1/4) = (1/4) (100-5Y)^(3/4)・Y^(-3/4)

15Y = 100-5Y

20Y = 100

Y = 5

と、私の計算ではなりましたが、どこか計算間違いがありましたかね？よって勉強時間はT=11（！？）

お礼

多分私が記号を間違えているだけだと思います汗
数値は11と出てきたので、計算の答え自体は合っていると思います。解説いただきありがとうございました。