斜面を台車で受ける時の水平力

質問

添付図のように、水平な地面に台車を置き、傾斜のついた質量Wの物体を乗せます。
（台車の受部はカマボコ状になっています。）

この時の条件を、sinθW/2 < μcosθW/2にすれば

Q1:台車には水平力はかからず、また物体は滑り落ちずにいられるでしょうか？
Q2:台車が受ける荷重は、鉛直荷重のW/2だけでいいのでしょうか？
Q3:cosθW/2はどう考えればいいのでしょうか？
Q4:受部がカマボコ状のため、線接触になりますが摩擦には関係ないでしょうか？

どなたかご教授をお願いします。

回答No.7

htms42

＃５です。
返事がありませんので、わかったのかわからないのかがわかりません。たぶんわかっていないのだと思います。この質問の前日（８／１３）に同じような質問が出ています。「わかりました」という返事が書いてあります。でも、わかっていれば、この質問は出てこないと思います。

回答No.6

foomufoomu

Q1. Yes
Q2. Yes
Q3.　後述
Q4. Yes

物体の下が斜めなので、ささえる点に斜め分力が働くのに、それによって台車が滑ることはないのか？
というのが、一番気になっていることではないでしょうか。
斜め分力は、摩擦力によって、上の物体が負担するので、下の台車が滑ることはありません。
「摩擦」という分かりにくいもので考えるから難しいのです。摩擦は、動かないうちは、がっちり接着されたのと同じと考えればよいのです。

回答No.5

htms42

問題がわからないのではなくて質問がわかりません。

＞この時の条件を、sinθW/2 < μcosθW/2にすれば

この式は導いたものではなく与えられているということでしょうか。
与えられたのでどうしてこういう式が出てくるのかわからないということなんでしょうか。
Q1～Q4までの質問はそこで出てきた疑問なのでしょうか。
導いたものであれば１つずつどういうことが成り立っているかを確かめていきますからQ1,Q2も吟味されているはずです。いきなりQ1のような疑問が出るというのは導いているのではないからのように思います。Q2もたぶん「台車には接触点で接触面に垂直の力が働いているから鉛直方向の荷重だけでつり合いが成り立っているというのはおかしいのではないか」という疑問から出ているように思います。Q3もこれに連動しています。
キチンと式を立てて導いてみるのがいいでしょう。

「反力」という言葉もあいまいです。高校で習った作用・反作用の法則での反作用力に名前が似ていますが使い方に違いがあります。
＞.『(W/2)cosθ　は、台車からの反力でつりあっているということです』とありますが
　台車の反力はW/2ではないでしょうか？
この文章の中でも「反力」があいまいに使われています。つり合いの力とごっちゃになっています。
作用・反作用はあくまでも作用があっての反作用です。力を及ぼしあっている２つの物体の間でのことですからＡからＢに働く力Ｆ、ＢからＡに働く力Ｆ’と指定する必要があります。このＦとＦ’の間の関係が作用・反作用です。「台車からの反力でつり合っている」という表現はおかしいです。

台車と物体の接点をＰとします。台車と物体の間に働く力はこの点Ｐだけで働きます。
台車から物体に働く力は２つあります。垂直抗力Ｎと摩擦力ｆです。ｆは接触面に平行に働いています。
台車が２つありますが左右対称ですから改めて文字を置く必要はありません。物体に働く力は合計５つです。
(1)物体に働く力のつりあい。
・水平方向：左右対称ですからいつもつり合っています。
・鉛直方向：fsinθ＋Ncosθ＝W/2
(2)台車に働く力
台車には物体から働く力が2つ（垂直抗力N'、摩擦力f'）と床から働く力垂直抗力、重力の合計5つの力が働いています。
・水平方向：f'cosθ＝N'sinθ
・鉛直方向：台車は水平方向にしか動くことができませんからいつも釣り合っています。式を書こうとすると新たに文字を導入しなければいけません。式が増えて未知数が増えるのですあえて式を書く必要はありません。

作用・反作用の関係が使えるのは台車と物体の間に働く力についてです。fとf'、NとN'は大きさが等しくて向きが逆です。したがって釣り合いの式から出てくる式は２つです。
fsinθ＋Ncosθ＝W/2
fcosθ＝Nsinθ
これを解くと
f＝(W/2)sinθ
N＝(W/2)cosθが出てきます。
摩擦係数の関係式　f＜μNに代入するとご質問文の中の式が出てきます。W/2を約すと
tanθ＜μ
これが安定条件です。
２つの式は別々の物体について成り立っているものですがいかにも１つの物体についての式であるかのような顔をしています。作用・反作用の条件を通じて１つにつながってしまったのです。これには台車と物体を１体にして考えると出てくる関係が滑り込んでいます。
台車に床から働く力は台車の質量をmとするとmg＋W/2です。ここから台車に働いている重力の部分を除いたものが物体から台車に働いている力Fだと考えられますからF=W/2になります。向きは鉛直下向きです。この力の反作用を考えると台車から物体に鉛直上向きにW/2の力が働いているとしてもいいことがわかります。
台車と物体を別々のものとして考えたときは出てこなかった関係が一体として考えると出てくるのです。

ついでに
＞傾斜のついた質量Wの物体を乗せます。
質量をＷとすると力はＷｇになります。Ｗを力として扱うのであれば質量ではなくて重量としなければいけません。高校の物理では質量をＭ、重量をＭｇとしています。その場合Ｗ＝Ｍｇです。

回答No.4

Tann3

No.1です。「補足」に書かれたことについて。

＞2.『(W/2)cosθ　は、台車からの反力でつりあっているということです』とありますが
＞　台車の反力はW/2ではないでしょうか？

　力のベクトルをどのようにとるかによりますが、力を「斜面と平行な方向」と「斜面と鉛直な方向」で考えれば、「斜面と鉛直な方向」は

　　・質量Wの物体が台車を押す力　(W/2)cosθ
　　・質量Wの物体の斜面と鉛直方向の反力　(W/2)cosθ

がつりあっています。

　「斜面と平行な方向」は、

　　・質量Wの物体が斜面下方向に滑り落ちようとする力
　　・斜面上方向に働く摩擦力

がつりあっています。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

mpascal

Ｎｏ．２です。

補足

台車を移動させる場合には、

　受け部の摩擦力（水平方向）　＞　（受け部に發生する水平分力 ＋ 台車の車輪の転がり抵抗） の条件を満たす必要があります。

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.2

mpascal

Ａ１　傾斜面で発生する水平方向分力が、受け部の摩擦より小さければ滑り落ちません。
　　　車輪の転がり抵抗は、移動させる前提では、動かないための抵抗と考えるべきではありません。

Ａ２　鉛直荷重と水平方向分力です。

Ａ３　受け部に掛かる実荷重です。（食い込みを検討する場合には使用します。）

Ａ４　かまぼこ状でも一般論では摩擦は発生する物として考えます。（逆に滑りも発生する。）
　　　実際にはかまぼこ状の先端が載せるワーク側に食い込むでしょうが、食い込み自体を議論しているのでなければ無視しま　す。

回答No.1

Tann3

ある意味ではどうでもよいことですが、誤解を避けるため、

　　sinθW/2　→　(W/2)sinθ　または　　(Wsinθ)/2
　　μcosθW/2　→　　μ(W/2)cosθ　または　　(μWcosθ)/2

と書いた方がよいですね。

＞Q1:台車には水平力はかからず、また物体は滑り落ちずにいられるでしょうか？

　摩擦力で、「質量Wの物体」と「台車」とが滑り出さずに固定されていれば、そのとおりです。

＞Q2:台車が受ける荷重は、鉛直荷重のW/2だけでいいのでしょうか？

　はい。「質量Wの物体」以外の質量がないので、2台の台車に均等に荷重がかかれば各々　W/2　です。

＞Q3:cosθW/2はどう考えればいいのでしょうか？

　加重　W/2　が、台車に対して滑り落ちようとする力　(W/2)sinθ　と、台車を垂直に押す力　(W/2)cosθ　に分解されています。
　台車を垂直に押す力　(W/2)cosθ　によって最大静止摩擦力　μ(W/2)cosθ　よりも小さい摩擦力（　(W/2)cosθ　に等しい）が生じ、これが滑り落ちようとする力　(W/2)sinθ　とつりあって滑り出さない状態となります。
　台車を垂直に押す力　(W/2)cosθ　に対して、質量Wの物体は台車からの反力　　(W/2)cosθ　（逆方向）を受け、つりあっています。

　つまり、　(W/2)cosθ　は、台車からの反力でつりあっているということです。

Q4:受部がカマボコ状のため、線接触になりますが摩擦には関係ないでしょうか？

　物理の問題としては、「剛体」を考えて「線接触」で接触面積がゼロですが、これでは摩擦力は生じないので、実際上は「微小面積で接している」ということにするしかありません。
　物理の問題は、あるときは「摩擦はないものとする」という状況で、あるときには「摩擦を考える」という状況で解けと言いますので、問題に即して適当に解釈するしかないでしょう。あくまで「物理問題」としての仮定ですから。
　台車の下の床に接する部分の摩擦は考えるのでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

1.台車の下の床に接する部分の摩擦は考えていません。

2.『(W/2)cosθ　は、台車からの反力でつりあっているということです』とありますが
　台車の反力はW/2ではないでしょうか？