斜面上の物体

質問

添付図のように、水平な地面に傾斜のついた柱を建て、その上に物体ｍが乗っています。
角度θが小さいため、mgsinθ<μmgcosθとなったとき、物体ｍは滑り落ちずにいると思いますが
mgcosθが斜めの力のため、柱は転倒するのでしょうか？
それとも柱の受ける荷重は、ｍｇだけとなるので転倒しないのでしょうか？

ご教授ください。

回答No.3

Tann3

No.1です。「補足」に書かれたことについて。

＞質問が一つあります。
＞文章中二行目に『柱にμmgcosθの力は働いていません。』とありますが
＞mgCOSθの誤りでしょうか？

　「mgcosθの力」は、物体ｍが柱の断面を押す力です。それにより柱が物体ｍを押す反力（大きさはmgcosθで柱の断面に鉛直で上向き）が働いています。

　「μmgcosθの力」と書いたのは、「動摩擦力に打ち勝って滑ることにより、物体ｍが柱を押す力」の意味です。不正確で申し分かりませんでした。
　ただし、滑り落ちる力が最大静摩擦力より小さくて、静止している場合には、この力は働かないことを言いたかったのです。

お礼

よく判りました。
ありがとうございます。

回答No.2

foomufoomu

ほとんど1番回答で答えが出ているのですが、補足的に。。。

上の物体が滑ってない状態では、柱が転倒しないのは、上の物体の重心が柱外形の鉛直線内にある場合です。（ほんとは、もう少し外でも転倒しないのですが）
これは、上の物体が転倒（転げ落ち）しない条件と同じなので、上の物体が安定して乗っている限り、柱は転倒しないことになります。

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.1

Tann3

＞柱の受ける荷重は、ｍｇだけとなるので転倒しないのでしょうか？

　物体ｍが滑り出さずに静止しているときは、静止摩擦力μmgcosθは、物体ｍが斜面の沿って滑り落ちようとする力とつりあって、物体ｍは滑り出さずに静止しているわけですので、柱にμmgcosθの力は働いていません。
　物体ｍと柱が接着剤で完全に固定されているのと同じ状態です。一体となった剛体と考えればよいのです。

　この「一体となった剛体」が転倒するかどうかは、その重心の位置によります。
　ご質問の図の「物体ｍ」の力が書いてある点は、この「物体ｍ」の重心だと思います。この「物体ｍの重心」が柱の断面の真上にあれば、明らかに転倒しないでしょう。
　さらに、「物体ｍの重心」が柱の断面の真上でなくとも、柱と物体ｍが「一体となった剛体」の合成重心の位置が柱の断面積内にあれば、転倒しないでしょう。
（上記は、いずれも柱の底部が平面で、床にしっかり密着して立っている、という条件で）

　逆に言えば、合成重心の位置が柱の断面積外にあれば転倒します。

　蛇足ながら、物体ｍが滑り出した場合には、物体ｍが滑り落ちる方向と逆方向に柱を押す力が働きますので、この力による回転モーメントが、転倒するかどうかを決定します。
　回転中心となる点（図で言えば柱の底の右端）から見た柱の重心におけるこ力による「回転モーメント」（図で言えば時計回り）と、柱の重心に働く重力による回転モーメント（反時計回り）の大きさを比較することで、転倒するかどうか判定できます。

補足

回答ありがとうございます。

質問が一つあります。
文章中二行目に『柱にμmgcosθの力は働いていません。』とありますが
mgCOSθの誤りでしょうか？